向量积

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向量积，也被称为叉积（即交叉乘积）、外积，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量都垂直。

定义
两个向量 a 和 b 的叉积写作 a × b （有时也被写成 a ∧ b，避免和字母 x 混淆）。叉积可以被定义为：

$/mathbf{a}/times/mathbf{b} = /mathbf/hat{n} /left| /mathbf{a} /right| /left| /mathbf{b} /right| /sin /theta$

在这里 θ 表示 a 和 b 之间的角度（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。而 n 是一个与 a 和 b 均垂直的单位矢量。

这个定义有一个问题，就是同时有两个单位向量都垂直于 a 和 b：若 n 满足垂直的条件，那么 -n 也满足。

“正确”的向量由向量空间的方向确定，即按照给定直角坐标系 (i, j, k) 的左右手定则。若 (i, j, k) 满足右手定则，则 (a, b, a × b) 也满足右手定则；或者两者同时满足左手定则。

一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的， $/mathbf{c} = /mathbf{a}/times/mathbf{b}$ 当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。由于向量的叉积由坐标系确定，所以其结果被称为伪向量。

下图表示一个右手坐标系中的叉积：

性质

几何意义

叉积的长度 |a × b| 可以解释成以 a 和 b 为边的平行四边形的面积。进一步就是说，三重积可以得到以 a，b，c 为边的平行六面体的体积。

代数性质

反交换律：

$/mathbf{a}/times/mathbf{b}=/mathbf{-b}/times/mathbf{a}$

加法的分配律：

a × ( b + c) = a × b + a × c

与标量乘法兼容：

( r a) × b = a × ( r b) = r( a × b)

不满足结合律，但满足 雅可比恒等式：

a × ( b × c) + b × ( c × a) + c × ( a × b) = 0

分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的 R³ 构成了一个李代数。

两个非零向量 a 和 b 平行，当且仅当 a × b = 0

拉格朗日公式

这是一个著名的公式，而且非常有用：

a × ( b × c) = b( a · c) − c( a · b),

可以简单地记成“BAC - CAB”。这个公式在物理上简化向量运算非常有效。需要注意的是，这个公式对微分算子不成立。

这里给出一个和梯度相关的一个情形：

$/begin{matrix} /nabla /times (/nabla /times /mathbf{f}) &=& /nabla (/nabla /cdot /mathbf{f} ) - (/nabla /cdot /nabla) /mathbf{f} // &=& /mbox{grad }(/mbox{div } /mathbf{f} ) - /mbox{laplacian } /mathbf{f}. /end{matrix}$

这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解 $/Delta = d /partial + /partial d$ 的特殊情形。

另一个有用的拉格朗日恒等式是：

$|a /times b|^2 + |a /cdot b|^2 = |a|^2 |b|^2.$

这是一个在四元数代数中范数乘法 $| v w | = | v | | w |$ 的特殊情形。

矩阵形式

给定直角坐标系的单位向量 i，j，k 满足下列等式：

i × j = k j × k = i k × i = j

通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设

a = a ₁ i + a ₂ j + a ₃ k = [ a ₁, a ₂, a ₃]

b = b ₁ i + b ₂ j + b ₃ k = [ b ₁, b ₂, b ₃]

则

a × b = [a ₂b ₃ − a ₃b ₂, a ₃b ₁ − a ₁b ₃, a ₁b ₂ − a ₂b ₁]

上述等式可以写成矩阵的行列式的形式：

$/mathbf{a}/times/mathbf{b}=/det /begin{bmatrix} /mathbf{i} & /mathbf{j} & /mathbf{k} // a_1 & a_2 & a_3 // b_1 & b_2 & b_3 // /end{bmatrix}$

叉积也可以用四元数来表示。注意到上述 i，j，k 之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量 [a₁, a₂, a₃] 表示成四元数 a₁i + a₂j + a₃k，两个向量的叉积可以这样计算：计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。更多关于四元数乘法，向量运算及其几何意义请参见四元数与空间旋转。