均值方差增量计算

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#均值算法 #概率论 #算法

单次计算

$μ=∑i=1nxin\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
$\begin{array}{ll} \sigma^2 &= \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}{n} \\ &= \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2 -2\sum_{i=1}^{n} x_i\mu + n\mu^2}{n} \\ &= \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\mu^2}{n} \\ &= \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}{n} - \mu^2 \end{array}$

增量计算

指标	第一批次	第二批次	合并
总数	$n_1$	$n_2$	$n_1+n_2$
均值	$μ1\mu_1$	$μ2\mu_2$	$n1μ1+n2μ2n1+n2\frac{n_1 \mu_1 + n_2\mu_2}{n_1 + n_2}$
方差	$σ1\sigma_1$	$σ2\sigma_2$	?
$∑xi2\sum x_i^2$	$n1σ12+n1μ12n_1 \sigma_1^2 + n_1 \mu_1^2$	$n2σ22+n2μ22n_2 \sigma_2^2 + n_2 \mu_2^2$	$n1σ12+n1μ12+n2σ22+n2μ22n_1 \sigma_1^2 + n_1 \mu_1^2 + n_2 \sigma_2^2 + n_2 \mu_2^2$

$\begin{array}{ll} \sigma^2 &= \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}{n} - \mu^2 \\ &= \frac{n_1 \sigma_1^2 + n_1 \mu_1^2 + n_2 \sigma_2^2 + n_2 \mu_2^2}{n_1+n_2} - (\frac{n_1 \mu_1 + n_2\mu_2}{n_1 + n_2})^2 \\ &= \frac{(n_1 + n_2)(n_1 \sigma_1^2 + n_1 \mu_1^2 + n_2 \sigma_2^2 + n_2 \mu_2^2) - (n_1 \mu_1 + n_2\mu_2)^2}{(n_1 + n_2)^2} \\ &= \frac{n_1 \sigma_1^2 + n_2 \sigma_2^2}{n_1 + n_2} + \frac{ n_1n_2\mu_1^2 + n_1n_2\mu_2^2 - 2n_1n_2\mu_1\mu_2}{(n_1 +n_2)^2} \\ &= \frac{n_1 \sigma_1^2 + n_2 \sigma_2^2}{n_1 + n_2} + \frac{ n_1n_2(\mu_1 - \mu_2)^2 }{(n_1 +n_2)^2} \end{array}$
方差的增量来自均值漂移