状态空间模型的等价性

考虑状态转移方程和观测方程均为非线性的状态空间模型：
$$\begin{gathered} x_t=f(x_{t-1})+v_t \\ {y}_t=g(x_t)+e_t \end{gathered}$$
其等价于只有状态转移方程为非线性的形式：
$$\begin{gathered} z_t=h(z_{t-1})+w_t \\ {y}_t={\gamma }_t+e_t \end{gathered}$$
其中 $z_t=[x_{t+1},{\gamma }_t{]}^{\top }$

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证明：

直接代入验证即可：

$$z_t\equiv \left[\begin{array}{c}{x}_{t+1}\\ {\gamma }_t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}f(x_t)\\ g({\gamma }_{t-1})\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{v}_{t+1}\\ 0\end{array}\right]\triangleq h(z_{t-1})+w_t$$$$y_t={\gamma }_t+e_t=\left[\begin{array}{cc}0& I\end{array}\right]z_t+e_t$$

如此一来，模型等价于只有状态转移方程为非线性，而观测方程为线性的状态空间模型。