<think>好的，我现在需要帮助用户解决如何用C++实现一个分配学生给不同大学的算法，目标是在满足每所大学对分数奇偶性偏好的前提下，最大化总分数。这个问题看起来像是一个组合优化问题，可能需要用到动态规划或者贪心算法，但具体怎么做呢？
首先，用户的需求是分配学生到大学，每个学生有一个分数，每个大学有位置数量和分数奇偶性的要求。总的目标是让所有分配的学生的分数总和最大，同时满足每个大学的分数奇偶性条件。这听起来像是一个带有约束的最优化问题，可能需要转化为整数规划或者使用某种匹配算法。
不过，考虑到学生和大学的规模可能比较大，普通的暴力枚举可能不可行。动态规划可能是一个选项，但状态的设计可能会比较复杂。或者，可能需要将问题分解为不同的部分，针对每个大学的奇偶性要求进行处理。
接下来，我需要考虑如何建模这个问题。每个学生只能被分配到一所大学，而每个大学有数量限制和奇偶性偏好。例如，某个大学可能要求其所有学生的分数总和是偶数或者奇数。这可能意味着每个大学的总分奇偶性需要满足特定条件，而不仅仅是单个学生的分数奇偶性。或者，用户可能是指每个学生分配到该大学的分数必须符合奇偶性？这里可能需要进一步明确。
假设是后者，即每个大学要求分配到该学校的每个学生的分数满足特定的奇偶性（比如，某大学只接受分数为奇数的学生）。这样，问题就变成了将学生分配到大学，每个学生只能去一个大学，每个大学的位置有限，且每个学生必须满足目标大学的奇偶性要求。此时，最大化总分数的话，可能需要优先将高分学生分配到他们符合条件且能带来最大收益的大学。
但如果是前者，即大学的分数总和需要满足奇偶性，那么这可能更复杂，因为总和的奇偶性不仅取决于单个学生的奇偶性，还取决于他们的数量和分配情况。例如，偶数个奇数分数的学生总和是偶数，奇数个的话总和是奇数。这时候，可能需要更复杂的条件处理。
根据用户提供的引用内容，可能没有直接相关的算法，但可以参考优化方法，比如动态规划或者回溯剪枝。例如，引用[3]提到的二阶优化可能不适用，但动态规划可能是一个方向。
现在，我需要明确问题的约束条件：
1. 每个学生只能分配到一个大学。
2. 每个大学有接收学生的数量上限。
3. 每个大学对学生的分数有奇偶性要求（可能是个体或总和）。
4. 目标是最大化所有被分配学生的分数总和。
假设每个大学的奇偶性要求是针对每个学生的，即该大学只能接收分数为奇数或偶数的学生。例如，大学A要求学生的分数是偶数，大学B要求奇数。这样，学生必须先被筛选是否符合某个大学的条件，才能被分配。
在这种情况下，可能的解决方法是：
- 预处理：将学生按分数奇偶性分组，并根据各大学的偏好进行匹配。
- 然后，为每个大学选择分数最高的学生，直到名额填满。
但这样可能存在资源竞争的问题，比如某个高分学生同时符合多个大学的条件，如何选择分配才能使得总分最大。例如，学生X分数高且是偶数，同时符合大学A和大学B（假设它们的奇偶性要求不同？或者可能我之前的假设有问题？）
哦，这里可能我的假设有问题。每个大学的奇偶性偏好是固定的，比如某大学只接受偶数分数学生，另一个接受奇数。所以学生只能被分配到那些接受他们分数奇偶性的大学。但每个学生只能去一个大学，所以需要在这些允许的大学中选择，使得总分数最大，同时满足各大学的名额限制。
这类似于带约束的分配问题，可以使用最大权重匹配的算法，例如匈牙利算法，但可能需要调整以满足约束条件。
或者，可以建模为整数线性规划问题，变量是学生与大学的分配情况，目标函数是总分最大，约束是每个学生只能分配一次，每个大学的名额不超过限制，且分配的学生的奇偶性符合大学的要求。
但用户需要的是C++实现，所以可能需要更高效的算法，而不是直接求解整数规划，因为对于大规模数据，整数规划可能不够高效。
另一个思路是贪心算法：将学生按分数从高到低排序，然后依次为每个学生分配到他可以进入的、且还有名额的最高优先级大学。但这样可能无法得到最优解，因为可能后面的学生更适合其他大学，但由于名额被占用了，导致总分不是最大。
例如，学生A分数10（偶数），学生B分数9（奇数）。大学M有1个名额，要求偶数；大学N有1个名额，要求奇数。如果先分配学生A到M，学生B到N，总分19。但如果M的名额被学生B无法占用，而学生A只能去M，这样其实没问题。但如果有更复杂的情况，可能贪心不是最优的。
所以，贪心算法可能在某些情况下有效，但无法保证全局最优。因此，可能需要寻找动态规划或其他方法。
另一种可能的方法是，将问题分解为不同奇偶性的组，然后分别处理每个大学的分配。例如，对于每个大学，根据其奇偶性要求，从对应的学生组中选择分数最高的学生，直到名额填满。但同样，这可能无法处理交叉情况，比如某个大学需要偶数学生，另一个也需要，但学生只能分配给其中一个。
所以，这可能需要一个更系统的方法，比如将问题视为二分图匹配，其中边表示学生可以分配到某个大学（满足奇偶性条件），边的权重是学生的分数。然后问题转化为选择一个边的子集，使得每个学生最多被选一次，每个大学被选中的边数不超过其名额，且总权重最大。
这实际上是一个二分图的多重匹配问题，即每个大学可以匹配多个学生（最多其名额数），而每个学生只能匹配一个大学。同时，边的存在条件是学生的奇偶性符合大学的要求。目标是最大权重匹配。
对于这样的问题，可以将其建模为流网络问题，使用最大流最小割算法，其中边的容量代表名额，权重作为费用，求最大费用最大流。或者，构造一个适当的图，然后使用最小费用流算法，其中费用为负分数，求最小费用，这样最大分数对应最小负费用。
具体来说，可以这样构建图：
1. 源点连接到各个大学节点，边的容量为该大学的名额，费用为0。
2. 大学节点连接到符合其奇偶性条件的学生节点，边的容量为1，费用为负的学生分数（因为我们要最大化总分，相当于最小化总费用）。
3. 学生节点连接到汇点，边的容量为1，费用为0。
然后，求从源点到汇点的最小费用流，流量为总可分配的学生数（即各大学名额之和，但可能学生数量不够，所以流量可能更小）。这样，最大总分就是费用的相反数。
这种方法可以正确处理学生只能被分配一次，各大学名额限制，以及奇偶性条件的问题，并且能够找到最优解。
但实现这样的算法在C++中需要用到最小费用流算法的实现，这可能比较复杂，尤其是对于大容量的情况。不过，考虑到学生的数量和大学的数量可能不是特别大（比如，假设学生数量在几百到几千之间），这种方法是可行的。
或者，如果问题规模较大，可能需要更优化的方法，比如使用更高效的算法或者数据结构。
现在，我需要考虑如何具体实现这个模型。例如，每个学生是否可以被连接到多个大学？是的，只要该学生的分数奇偶性符合该大学的要求。
举个例子，假设大学A要求偶数分数，大学B要求奇数分数。学生X的分数是4，所以可以连接到大学A，而学生Y的分数是5，可以连接到大学B。然后，大学A和B的名额分别是各自的容量。然后，构建这样的图，运行最小费用流算法。
在C++中，可能需要使用现有的库或者自己实现一个费用流算法。常见的算法有Successive Shortest Paths（连续最短增广路）或者Cycle Cancelling算法。对于规模较大的问题，可能需要使用更高效的算法，如Capacity Scaling。
不过，用户可能需要一个具体的实现，所以可能需要提供一个简化的实现，假设学生和大学的数量不太大。
接下来，我需要整理思路，给出具体的步骤：
1. 预处理学生列表，根据他们的分数奇偶性分组。
2. 构建流网络：
- 源点 → 各大学，容量为名额，费用0。
- 大学 → 符合条件的学生，容量1，费用为-分数。
- 学生 → 汇点，容量1，费用0。
3. 计算最小费用最大流，总费用的相反数即为最大总分。
4. 根据流的结果，确定每个学生被分配到哪个大学。
现在，如何在C++中实现这个？可能需要使用邻接表表示图，并实现费用流算法。
这里，我需要考虑如何表示图结构，以及如何处理边的反向边等。例如，每条边需要记录容量、费用、目标节点、反向边的指针等。
接下来，编写代码的大致步骤：
- 定义学生和大学的结构，记录学生的分数和奇偶性。
- 构建图：为每个大学创建一个节点，每个学生创建一个节点，加上源点和汇点。
- 添加边：
- 源点到每个大学的边，容量为名额，费用0。
- 大学到符合条件的学生的边，容量1，费用为-分数。
- 学生到汇点的边，容量1，费用0。
- 运行最小费用流算法，计算从源点到汇点的最大流，并记录总费用。
- 遍历大学的边，查看哪些学生的边被使用，从而确定分配情况。
这个过程中，学生和大学的节点需要唯一标识。例如，假设学生节点编号从1到N，大学节点编号从N+1到N+M，源点为0，汇点为N+M+1。
关于费用流的实现，可以参考Bellman-Ford或SPFA算法来寻找最短路径，因为费用可能为负（当学生的分数为正时，费用是负数）。或者，使用Dijkstra算法，但需要处理负权边的问题，可能需要使用势能函数来调整边的权重。
这里，考虑到可能存在负权边（比如，当学生分数为正时，费用是负数），所以使用SPFA算法可能更合适，因为它可以处理负权边。
现在，我需要编写一个C++的最小费用流实现。这可能包括以下结构：
struct Edge {
int to, capacity, cost, rev;
Edge(int t, int c, int co, int r) : to(t), capacity(c), cost(co), rev(r) {}
};
然后，使用邻接表vector<vector<Edge>> graph;来存储图。
实现一个函数来添加边：
void add_edge(int from, int to, int capacity, int cost) {
graph[from].emplace_back(to, capacity, cost, graph[to].size());
graph[to].emplace_back(from, 0, -cost, graph[from].size()-1);
}
然后，实现最小费用流算法，使用SPFA寻找最短路径：
pair<int, int> min_cost_flow(int source, int sink, int max_flow) {
int total_flow = 0;
int total_cost = 0;
vector<int> potential(graph.size(), INF); // 用于势能，减少负权的影响
potential[source] = 0;
// 使用SPFA初始化势能
queue<int> q;
vector<bool> in_queue(graph.size(), false);
q.push(source);
in_queue[source] = true;
while (!q.empty()) {
int u = q.front(); q.pop();
in_queue[u] = false;
for (const Edge& e : graph[u]) {
if (e.capacity > 0 && potential[e.to] > potential[u] + e.cost) {
potential[e.to] = potential[u] + e.cost;
if (!in_queue[e.to]) {
q.push(e.to);
in_queue[e.to] = true;
}
}
}
}
while (total_flow < max_flow) {
vector<int> dist(graph.size(), INF);
vector<int> prev_node(graph.size(), -1);
vector<int> prev_edge(graph.size(), -1);
dist[source] = 0;
using P = pair<int, int>;
priority_queue<P, vector<P>, greater<P>> pq;
pq.push({0, source});
while (!pq.empty()) {
auto [d, u] = pq.top(); pq.pop();
if (d > dist[u]) continue;
for (int i = 0; i < graph[u].size(); ++i) {
Edge& e = graph[u][i];
if (e.capacity > 0) {
int v = e.to;
int new_dist = dist[u] + e.cost + potential[u] - potential[v];
if (new_dist < dist[v]) {
dist[v] = new_dist;
prev_node[v] = u;
prev_edge[v] = i;
pq.push({new_dist, v});
}
}
}
}
if (dist[sink] == INF) break;
for (int u = 0; u < graph.size(); ++u) {
potential[u] += dist[u] == INF ? 0 : dist[u];
}
int flow = max_flow - total_flow;
for (int u = sink; u != source; u = prev_node[u]) {
flow = min(flow, graph[prev_node[u]][prev_edge[u]].capacity);
}
for (int u = sink; u != source; u = prev_node[u]) {
Edge& e = graph[prev_node[u]][prev_edge[u]];
e.capacity -= flow;
graph[e.to][e.rev].capacity += flow;
total_cost += flow * e.cost;
}
total_flow += flow;
}
return {total_flow, total_cost};
}
不过，这里的代码可能需要调试，比如是否正确处理势能，或者是否使用优先队列优化后的Dijkstra算法，但需要确保在调整势能后，边的权重非负，从而可以使用Dijkstra。
这可能需要更详细的处理，但为了简化，可能需要使用SPFA来寻找最短路径，或者结合势能调整后的Dijkstra。
假设我们使用基于势能的Dijkstra方法，那么每次迭代时，边的权重会被调整为非负，从而可以使用Dijkstra算法，提高效率。
现在，回到问题，如何将学生和大学映射到图中的节点？
假设：
- 源点：0
- 大学节点：1到M（假设M所大学）
- 学生节点：M+1到M+N（N个学生）
- 汇点：M+N+1
然后，添加边：
1. 源点到每个大学i，容量为该大学的名额，费用0。
add_edge(0, i, capacity, 0)
2. 大学i到学生j，如果学生的分数奇偶性符合该大学的要求，容量1，费用-分数。
for each university i:
for each student j:
if student j's parity matches i's requirement:
add_edge(i, M+1 + j_index, 1, -student_score)
3. 每个学生到汇点，容量1，费用0。
for each student j:
add_edge(M+1 + j_index, M+N+1, 1, 0)
然后，计算从源点0到汇点M+N+1的最小费用最大流。总费用的相反数即为最大总分。
接下来，如何确定每个学生的分配？需要遍历所有大学到学生的边，检查哪些边的容量被减少了，即被使用了。
例如，对于每个大学i，遍历其邻接表中的边，如果边的目标节点是学生j，并且该边的容量从1变为0，则表示该学生被分配到该大学。
这样，可以收集每个学生的分配情况。
现在，将这些步骤转换为C++代码：
首先，定义学生和大学的结构：
struct University {
int seats;
bool requireEven; // true表示需要偶数分数，false表示奇数
};
struct Student {
int score;
bool isEven() const { return score % 2 == 0; }
};
然后，输入学生和大学的数据，假设：
vector<University> universities;
vector<Student> students;
接下来，构建图：
int M = universities.size();
int N = students.size();
int total_nodes = 1 + M + N + 1; // 源点 + M大学 + N学生 + 汇点
graph.resize(total_nodes);
// 源点到大学
for (int i = 0; i < M; ++i) {
int uni_node = 1 + i;
add_edge(0, uni_node, universities[i].seats, 0);
}
// 大学到学生
for (int i = 0; i < M; ++i) {
int uni_node = 1 + i;
const auto& uni = universities[i];
for (int j = 0; j < N; ++j) {
const auto& stu = students[j];
if (uni.requireEven == stu.isEven()) {
int stu_node = 1 + M + j;
add_edge(uni_node, stu_node, 1, -stu.score);
}
}
}
// 学生到汇点
for (int j = 0; j < N; ++j) {
int stu_node = 1 + M + j;
int sink = 1 + M + N;
add_edge(stu_node, sink, 1, 0);
}
然后，计算最小费用流：
int source = 0;
int sink = 1 + M + N;
int max_possible_flow = min(accumulate(universities.begin(), universities.end(), 0, [](int sum, const University& u) { return sum + u.seats; }), N);
auto [flow, cost] = min_cost_flow(source, sink, max_possible_flow);
int total_score = -cost;
最后，确定每个学生的分配：
vector<int> assignment(N, -1); // assignment[j] = 大学索引
for (int i = 0; i < M; ++i) {
int uni_node = 1 + i;
for (auto& e : graph[uni_node]) {
if (e.to >= 1 + M && e.to <= 1 + M + N - 1) { // 学生节点
int stu_index = e.to - (1 + M);
if e.capacity == 0 { // 原始容量是1，现在减少到0，表示被选中
assignment[stu_index] = i;
}
}
}
}
但这里需要注意，边的容量是动态变化的，可能在处理过程中被修改。所以，正确的做法是，在运行流算法后，检查反向边的容量是否为1，因为当正向边的容量减少到0时，反向边的容量增加。或者，可能需要更仔细地检查哪些边被实际使用了。
或者，更准确的做法是：对于每个大学到学生的边，初始容量是1。在流算法运行后，如果该边的容量变为0，则表示该学生被分配到了该大学。或者，检查反向边的容量是否变为1，因为当流经过正向边时，正向边的容量减少，反向边容量增加。
这可能需要更仔细的处理。例如，在流算法中，每条正向边的容量表示剩余的可用容量，所以如果某条边被使用了，其容量会减少，反向边的容量会增加。例如，初始时，大学到学生的边容量是1，当该边被使用一次后，容量变为0，反向边（学生到大学）的容量变为1。
因此，要找出哪些边被使用，可以遍历每个大学节点的出边，如果该边的容量变为0，则表示该边被使用了一次，即该学生被分配到了该大学。
因此，代码应该类似：
for (int i = 0; i < M; ++i) {
int uni_node = 1 + i;
for (const Edge& e : graph[uni_node]) {
if (e.to >= 1 + M && e.to < 1 + M + N) { // 学生节点范围
int stu_index = e.to - (1 + M);
if (e.capacity == 0) { // 已经被使用
assignment[stu_index] = i;
// 注意：可能存在多个大学的边指向同一学生，但只能有一个被选中
// 所以一旦找到，可以break？
}
}
}
}
不过，这里可能存在一个问题：一个学生可能被多个大学选中，但实际上只能被分配到一个，所以需要确保每个学生只能被分配一次。但根据图的结构，学生到汇点的边容量是1，所以每个学生最多被分配一次。
因此，上述循环可能会找到多个大学的边指向该学生，但实际上只有其中一条边被使用，所以需要确保正确记录。
另外，由于学生到汇点的边容量为1，所以每个学生只能被分配一次，所以在遍历大学到学生的边时，每个学生最多会被一个大学选中。
综上，通过上述方法，可以正确得到学生的分配结果。
现在，需要考虑测试案例。例如：
假设有两个大学：
University A: seats=1，requireEven=true
University B: seats=1，requireEven=false
三个学生：
Student1: score=4（even）
Student2: score=5（odd）
Student3: score=6（even）
这时，大学A可以接受Student1和3，大学B接受Student2。总共有两个名额，所以最大总分是选择Student3（6）和 Student2（5），总分11。或者，如果大学A选Student1（4）和大学B选Student2（5），总分9。显然最优是前者，但大学A的座位只有1，所以如果大学A选Student3，大学B选Student2，这样总分11。这应该被算法正确选择。
在图中，源点连接大学A（容量1）和大学B（容量1）。大学A连接到Student1和3，费用-4和-6。大学B连接到Student2，费用-5。学生连接到汇点。
运行费用流算法，最大流为2，最小费用为-6-5 = -11，总分为11。分配正确。
这说明算法可以处理这种情况。
另一个测试案例：如果学生分数更高的学生不能被分配，因为名额限制。例如，大学A有1座位，要求even，学生A（10，even）、学生B（8，even）。大学B有1座位，要求odd，学生C（9，odd）、学生D（7，odd）。此时，算法应该分配学生A到大学A，学生C到大学B，总分19。
综上，这样的算法应该可以正确解决问题。
现在，总结步骤：
1. 构建流网络模型。
2. 使用最小费用流算法求解。
3. 解析结果，得到分配。
现在，编写C++代码的大体框架，并处理输入输出。
可能的实现代码如下（省略部分细节）：
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std;
struct Edge {
int to, capacity, cost, rev;
Edge(int t, int c, int co, int r) : to(t), capacity(c), cost(co), rev(r) {}
};
vector<vector<Edge>> graph;
void add_edge(int from, int to, int capacity, int cost) {
graph[from].emplace_back(to, capacity, cost, graph[to].size());
graph[to].emplace_back(from, 0, -cost, graph[from].size()-1);
}
pair<int, int> min_cost_flow(int source, int sink, int max_flow) {
int total_flow = 0;
int total_cost = 0;
const int INF = 1e9;
vector<int> potential(graph.size(), INF);
potential[source] = 0;
// 使用SPFA初始化势能
queue<int> q;
vector<bool> in_queue(graph.size(), false);
q.push(source);
in_queue[source] = true;
while (!q.empty()) {
int u = q.front(); q.pop();
in_queue[u] = false;
for (const Edge& e : graph[u]) {
if (e.capacity > 0 && potential[e.to] > potential[u] + e.cost) {
potential[e.to] = potential[u] + e.cost;
if (!in_queue[e.to]) {
q.push(e.to);
in_queue[e.to] = true;
}
}
}
}
while (total_flow < max_flow) {
vector<int> dist(graph.size(), INF);
vector<int> prev_node(graph.size(), -1);
vector<int> prev_edge(graph.size(), -1);
dist[source] = 0;
using P = pair<int, int>;
priority_queue<P, vector<P>, greater<P>> pq;
pq.push({0, source});
while (!pq.empty()) {
auto [d, u] = pq.top(); pq.pop();
if (d > dist[u]) continue;
for (int i = 0; i < graph[u].size(); ++i) {
Edge& e = graph[u][i];
if (e.capacity > 0) {
int v = e.to;
int new_dist = dist[u] + e.cost + potential[u] - potential[v];
if (new_dist < dist[v]) {
dist[v] = new_dist;
prev_node[v] = u;
prev_edge[v] = i;
pq.push({new_dist, v});
}
}
}
}
if (dist[sink] == INF) break;
for (size_t u = 0; u < graph.size(); ++u) {
if (dist[u] < INF)
potential[u] += dist[u];
}
int flow = max_flow - total_flow;
for (int u = sink; u != source; u = prev_node[u]) {
flow = min(flow, graph[prev_node[u]][prev_edge[u]].capacity);
}
for (int u = sink; u != source; u = prev_node[u]) {
Edge& e = graph[prev_node[u]][prev_edge[u]];
e.capacity -= flow;
graph[e.to][e.rev].capacity += flow;
total_cost += flow * e.cost;
}
total_flow += flow;
}
return {total_flow, total_cost};
}
struct University {
int seats;
bool requireEven;
};
struct Student {
int score;
bool isEven() const { return score % 2 == 0; }
};
int main() {
int M, N;
cin >> M >> N;
vector<University> universities(M);
for (int i = 0; i < M; ++i) {
cin >> universities[i].seats >> universities[i].requireEven;
}
vector<Student> students(N);
for (int i = 0; i < N; ++i) {
cin >> students[i].score;
}
int source = 0;
int sink = 1 + M + N;
graph.resize(sink + 1);
// 源点到大学
for (int i = 0; i < M; ++i) {
int uni_node = 1 + i;
add_edge(source, uni_node, universities[i].seats, 0);
}
// 大学到学生
for (int i = 0; i < M; ++i) {
int uni_node = 1 + i;
bool requireEven = universities[i].requireEven;
for (int j = 0; j < N; ++j) {
if (students[j].isEven() == requireEven) {
int stu_node = 1 + M + j;
add_edge(uni_node, stu_node, 1, -students[j].score);
}
}
}
// 学生到汇点
for (int j = 0; j < N; ++j) {
int stu_node = 1 + M + j;
add_edge(stu_node, sink, 1, 0);
}
int max_flow_possible = min(accumulate(universities.begin(), universities.end(), 0, [](int sum, const University& u) { return sum + u.seats; }), N);
auto [flow, cost] = min_cost_flow(source, sink, max_flow_possible);
int total_score = -cost;
cout << "Maximum total score: " << total_score << endl;
// 分配结果
vector<int> assignment(N, -1);
for (int i = 0; i < M; ++i) {
int uni_node = 1 + i;
for (const Edge& e : graph[uni_node]) {
if (e.to >= 1 + M && e.to < 1 + M + N) {
int stu_idx = e.to - (1 + M);
if (e.capacity == 0) {
assignment[stu_idx] = i;
}
}
}
}
for (int j = 0; j < N; ++j) {
if (assignment[j] != -1) {
cout << "Student " << j << " (score " << students[j].score << ") assigned to University " << assignment[j] << endl;
} else {
cout << "Student " << j << " not assigned" << endl;
}
}
return 0;
}
这段代码可能存在一些错误，比如节点的索引是否正确，或者在处理流之后的边容量检查是否准确。例如，在检查大学到学生的边容量是否为0时，可能应该遍历所有边，并检查是否被使用过。此外，可能存在多个大学指向同一个学生的情况，但学生只能被分配到一个大学，所以需要确保正确找到对应的边。
另一个潜在的问题是，当使用Dijkstra算法时，势能的更新是否正确处理。此外，当学生的分数为0时，费用可能为0，但这种情况可能不影响算法。
最后，测试这个代码需要输入正确的数据格式，例如：
输入示例：
2 3
1 1
1 0
4
5
6
这里，两个大学：
大学0：座位1，要求偶数
大学1：座位1，要求奇数
三个学生，分数4，5，6
输出应该分配学生2（分数6，even）到大学0，学生1（分数5，odd）到大学1，总分11。
这个代码应该能正确处理这种情况。
综上，这个方案使用最小费用流算法，将问题建模为流网络，能够在满足约束条件下找到最大总分的分配方式。虽然实现较为复杂，但能够保证最优解。</think>为了用C++实现分配学生到大学以最大化总分并满足奇偶性偏好，可以采用最小费用流算法建模问题。以下是具体实现方案：
### 问题建模
将问题转化为网络流问题：
1. **源点**连接各个大学，容量为名额，费用0
2. **大学**连接符合奇偶性要求的学生，容量1，费用为负的分数
3. **学生**连接汇点，容量1，费用0
通过求解最小费用最大流获得最优分配。
### C++实现代码
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std;
struct Edge {
int to, capacity, cost, rev;
Edge(int t, int c, int co, int r)
: to(t), capacity(c), cost(co), rev(r) {}
};
vector<vector<Edge>> graph;
void add_edge(int from, int to, int capacity, int cost) {
graph[from].emplace_back(to, capacity, cost, graph[to].size());
graph[to].emplace_back(from, 0, -cost, graph[from].size()-1);
}
pair<int, int> min_cost_flow(int source, int sink, int max_flow) {
const int INF = 1e9;
int total_flow = 0;
int total_cost = 0;
vector<int> potential(graph.size(), INF);
potential[source] = 0;
queue<int> q;
vector<bool> in_queue(graph.size(), false);
q.push(source);
in_queue[source] = true;
while (!q.empty()) { // SPFA初始化势能
int u = q.front(); q.pop();
in_queue[u] = false;
for (const Edge& e : graph[u]) {
if (e.capacity > 0 && potential[e.to] > potential[u] + e.cost) {
potential[e.to] = potential[u] + e.cost;
if (!in_queue[e.to]) {
q.push(e.to);
in_queue[e.to] = true;
}
}
}
}
while (total_flow < max_flow) {
vector<int> dist(graph.size(), INF);
vector<int> prev_node(graph.size(), -1);
vector<int> prev_edge(graph.size(), -1);
dist[source] = 0;
using P = pair<int, int>;
priority_queue<P, vector<P>, greater<P>> pq;
pq.push({0, source});
while (!pq.empty()) { // Dijkstra寻找最短路径
auto [d, u] = pq.top(); pq.pop();
if (d > dist[u]) continue;
for (int i = 0; i < graph[u].size(); ++i) {
Edge& e = graph[u][i];
if (e.capacity > 0) {
int v = e.to;
int new_dist = dist[u] + e.cost + potential[u] - potential[v];
if (new_dist < dist[v]) {
dist[v] = new_dist;
prev_node[v] = u;
prev_edge[v] = i;
pq.push({new_dist, v});
}
}
}
}
if (dist[sink] == INF) break;
for (size_t u = 0; u < graph.size(); ++u)
if (dist[u] < INF) potential[u] += dist[u];
int flow = max_flow - total_flow;
for (int u = sink; u != source; u = prev_node[u])
flow = min(flow, graph[prev_node[u]][prev_edge[u]].capacity);
for (int u = sink; u != source; u = prev_node[u]) {
Edge& e = graph[prev_node[u]][prev_edge[u]];
e.capacity -= flow;
graph[e.to][e.rev].capacity += flow;
total_cost += flow * e.cost;
}
total_flow += flow;
}
return {total_flow, total_cost};
}
struct University {
int seats;
bool requireEven;
};
struct Student {
int score;
bool isEven() const { return score % 2 == 0; }
};
int main() {
int M, N;
cout << "Enter number of universities and students: ";
cin >> M >> N;
vector<University> universities(M);
for (int i = 0; i < M; ++i) {
cout << "University " << i << " (seats require_even): ";
cin >> universities[i].seats >> universities[i].requireEven;
}
vector<Student> students(N);
for (int i = 0; i < N; ++i) {
cout << "Student " << i << " score: ";
cin >> students[i].score;
}
int source = 0;
int sink = 1 + M + N;
graph.resize(sink + 1);
// 构建图
for (int i = 0; i < M; ++i) // 源点->大学
add_edge(source, 1+i, universities[i].seats, 0);
for (int i = 0; i < M; ++i) // 大学->学生
for (int j = 0; j < N; ++j)
if (students[j].isEven() == universities[i].requireEven)
add_edge(1+i, 1+M+j, 1, -students[j].score);
for (int j = 0; j < N; ++j) // 学生->汇点
add_edge(1+M+j, sink, 1, 0);
int max_flow = min(accumulate(
universities.begin(), universities.end(), 0,
[](int sum, auto& u) { return sum + u.seats; }), N);
auto [flow, cost] = min_cost_flow(source, sink, max_flow);
int total_score = -cost;
// 解析分配结果
vector<int> assignment(N, -1);
for (int i = 0; i < M; ++i) {
for (const Edge& e : graph[1+i]) {
if (e.to > M && e.to <= M+N && e.capacity == 0) {
int stu_idx = e.to - (1+M);
assignment[stu_idx] = i;
}
}
}
// 输出结果
cout << "\nMaximum total score: " << total_score << endl;
for (int j = 0; j < N; ++j) {
if (assignment[j] != -1) {
cout << "Student " << j << " -> University " << assignment[j]
<< " (score: " << students[j].score << ")\n";
} else {
cout << "Student " << j << " unassigned\n";
}
}
return 0;
}
```
### 实现说明
1. **网络构建**：通过节点表示学生、大学和汇点，边表示允许的分配关系
2. **费用计算**：将学生分数作为负费用，最小费用对应最大总分
3. **结果解析**：通过检查边容量变化确定实际分配情况
该算法的时间复杂度主要取决于最小费用流算法的实现，使用Capacity Scaling优化后可达$O(E^2 \log V)$级别，适用于中等规模数据[^1]。
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