加密算法之RSA算法

最新推荐文章于 2025-09-22 15:47:49 发布

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它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。它易于理解和操作，也很流行。算法的名字以发明者的名字命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。它经历了各种攻击，至今未被完全攻破。

一、RSA算法:

首先,找出三个数,p,q,r,
其中p,q是两个相异的质数,r是与(p-1)(q-1)互质的数......
p,q,r这三个数便是privatekey

接著,找出m,使得rm==1mod(p-1)(q-1).....
这个m一定存在,因为r与(p-1)(q-1)互质,用辗转相除法就可以得到了.....
再来,计算n=pq.......
m,n这两个数便是publickey

编码过程是,若资料为a,将其看成是一个大整数,假设a<n....
如果a>=n的话,就将a表成s进位(s<=n,通常取s=2^t),
则每一位数均小於n,然後分段编码......
接下来,计算b==a^mmodn,(0<=b<n),
b就是编码後的资料......

解码的过程是,计算c==b^rmodpq(0<=c<pq),
於是乎,解码完毕......等会会证明c和a其实是相等的:)

如果第三者进行时,他会得到几个数:m,n(=pq),b......
他如果要解码的话,必须想办法得到r......
所以,他必须先对n作质因数分解.........
要防止他分解,最有效的方法是找两个非常的大质数p,q,
使第三者作因数分解时发生困难.........

<定理>
若p,q是相异质数,rm==1mod(p-1)(q-1),
a是任意一个正整数,b==a^mmodpq,c==b^rmodpq,
则c==amodpq

证明的过程,会用到费马小定理,叙述如下:
m是任一质数,n是任一整数,则n^m==nmodm
(换另一句话说,如果n和m互质,则n^(m-1)==1modm)
运用一些基本的群论的知识,就可以很容易地证出费马小定理的........

<证明>
因为rm==1mod(p-1)(q-1),所以rm=k(p-1)(q-1)+1,其中k是整数
因为在modulo中是preserve乘法的
(x==ymodzandu==vmodz=>xu==yvmodz),
所以,c==b^r==(a^m)^r==a^(rm)==a^(k(p-1)(q-1)+1)modpq

1.如果a不是p的倍数,也不是q的倍数时,
则a^(p-1)==1modp(费马小定理)=>a^(k(p-1)(q-1))==1modp
a^(q-1)==1modq(费马小定理)=>a^(k(p-1)(q-1))==1modq
所以p,q均能整除a^(k(p-1)(q-1))-1=>pq|a^(k(p-1)(q-1))-1
即a^(k(p-1)(q-1))==1modpq
=>c==a^(k(p-1)(q-1)+1)==amodpq

2.如果a是p的倍数,但不是q的倍数时,
则a^(q-1)==1modq(费马小定理)
=>a^(k(p-1)(q-1))==1modq
=>c==a^(k(p-1)(q-1)+1)==amodq
=>q|c-a
因p|a
=>c==a^(k(p-1)(q-1)+1)==0modp
=>p|c-a
所以,pq|c-a=>c==amodpq

3.如果a是q的倍数,但不是p的倍数时,证明同上

4.如果a同时是p和q的倍数时,
则pq|a
=>c==a^(k(p-1)(q-1)+1)==0modpq
=>pq|c-a
=>c==amodpq
Q.E.D.

这个定理说明a经过编码为b再经过解码为c时,a==cmodn(n=pq)....
但我们在做编码解码时,限制0<=a<n,0<=c<n,
所以这就是说a等於c,所以这个过程确实能做到编码解码的功能.....

二、RSA 的安全性

RSA的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，因为没有证明破解 RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法，那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前， RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分解。不管怎样，分解n是最显然的攻击方法。现在，人们已能分解多个十进制位的大素数。因此，模数n 必须选大一些，因具体适用情况而定。

三、RSA的速度

由于进行的都是大数计算，使得RSA最快的情况也比DES慢上倍，无论是软件还是硬件实现。速度一直是RSA的缺陷。一般来说只用于少量数据加密。

四、RSA的选择密文攻击

RSA在选择密文攻击面前很脆弱。一般攻击者是将某一信息作一下伪装( Blind)，让拥有私钥的实体签署。然后，经过计算就可得到它所想要的信息。实际上，攻击利用的都是同一个弱点，即存在这样一个事实：乘幂保留了输入的乘法结构：

( XM )^d = X^d *M^d mod n

前面已经提到，这个固有的问题来自于公钥密码系统的最有用的特征--每个人都能使用公钥。但从算法上无法解决这一问题，主要措施有两条：一条是采用好的公钥协议，保证工作过程中实体不对其他实体任意产生的信息解密，不对自己一无所知的信息签名；另一条是决不对陌生人送来的随机文档签名，签名时首先使用One-Way HashFunction 对文档作HASH处理，或同时使用不同的签名算法。在中提到了几种不同类型的攻击方法。

五、RSA的公共模数攻击

若系统中共有一个模数，只是不同的人拥有不同的e和d，系统将是危险的。最普遍的情况是同一信息用不同的公钥加密，这些公钥共模而且互质，那末该信息无需私钥就可得到恢复。设P为信息明文，两个加密密钥为e1和e2，公共模数是n，则：

C1 = P^e1 mod n

C2 = P^e2 mod n

密码分析者知道n、e1、e2、C1和C2，就能得到P。

因为e1和e2互质，故用Euclidean算法能找到r和s，满足：

r * e1 + s * e2 = 1

假设r为负数，需再用Euclidean算法计算C1^(-1)，则

( C1^(-1) )^(-r) * C2^s = P mod n

另外，还有其它几种利用公共模数攻击的方法。总之，如果知道给定模数的一对e和d，一是有利于攻击者分解模数，一是有利于攻击者计算出其它成对的e’和d’，而无需分解模数。解决办法只有一个，那就是不要共享模数n。

RSA的小指数攻击。有一种提高 RSA速度的建议是使公钥e取较小的值，这样会使加密变得易于实现，速度有
所提高。但这样作是不安全的，对付办法就是e和d都取较大的值。

RSA算法是第一个能同时用于加密和数字签名的算法，也易于理解和操作。RSA是被研究得最广泛的公钥算法，从提出到现在已近二十年，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。即RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何，而且密码学界多数人士倾向于因子分解不是NPC问题。 RSA的缺点主要有：A)产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密。B)分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级；且随着大数分解技术的发展，这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。目前，SET( Secure Electronic Transaction )协议中要求CA采用比特长的密钥，其他实体使用比特的密钥。