B树讲解

本文深入探讨了B树的定义、性质及其在计算机科学领域的应用,详细阐述了如何进行搜索、插入、节点分裂和删除关键字的基本操作,并通过实例代码展示了C语言实现过程。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

定义:一颗B树拥有如下性质的有根树

1)每个节点有以下域

a)n[x] :存储在节点x中的关键字数

b)n[x]个关键字,按照非降序排列

c)leaf[x]为布尔值,x为叶子则leaf[x]=True 否则为false

2)每个内节点x还包含n[x]+1个指向其子女的指针c1[x],c2[x]……C(n[x]+1)[x]。叶子没有子女

3)各关键字key[x] 之间 的子树的关键字范围 在关键字key1[x]<=c1[x]<=key2[x]之间。

4)每一个叶子有相同的深度=树的高度h

5)每一个节点能包含的关键字数有一个上界和下届。用B树的最小度数t>=2来限定。

a)每个非根必须至少 t-1 个关键字、t个子女。

b)每个非根至多2t-1关键字,所以一个关键字至多2t个子女。我们说一个节点是满的则它恰好有2t-1个关键字。

例子:当t=2时,每个非根、非叶节点可以包含的节点数为( 1、2、3)。子女数可以为(2、3、4)。实际中采用大的多的t值。

对B树的基本操作:

搜索B树,向B树中插入关键字,B树中节点的分裂,从B树种删除关键字。

源码(C):

### B+的数据结构及实现原理 #### 什么是B+? B+是一种平衡多路查找,广泛应用于数据库和文件系统的索引管理中。它是在B的基础上进行了优化的一种数据结构[^2]。 #### B+的特点 1. **所有叶子节点存储实际数据**:在B+中,只有叶子节点保存真实的数据记录指针或者完整的数据项,而非叶子节点仅用于引导查询方向。 2. **内部节点只含关键字和子指针**:非叶子节点包含指向其子节点的指针以及分割这些子节点的关键字集合。 3. **叶子节点通过链表连接**:所有的叶子节点按照关键字顺序通过双向链表相连,这使得范围查询变得高效。 4. **高度平衡性**:如同B一样,B+也保持了严格的平衡性质,即从根到任何叶路径长度相同。 #### 初始化过程 类似于给定的例子中的`btree_init()`函数可以扩展为适用于B+的情况。对于B+而言,初始化操作通常涉及分配内存空间并设置初始参数如阶数(degree),同时设定根为空状态直到第一次插入时才真正构建起第一个节点实例[^1]。 以下是基于上述描述的一个简化版伪代码表示如何初始化一棵B+: ```c typedef struct BPNode { int n; /* 当前关键字数量 */ int keys[MAX_KEYS]; /* 关键字数组 */ void* pointers[MAX_POINTERS];/* 子节点或数据项指针数组 */ bool is_leaf; /* 是否为叶子标志位 */ } BPNode; BPNode* bp_tree_init(int t){ BPNode *node = (BPNode *) malloc(sizeof(BPNode)); if (!node) { perror("Init node failed"); exit(-1); } node->n = 0; node->is_leaf = true; memset(node->keys, 0, sizeof(node->keys)); memset(node->pointers, 0, sizeof(node->pointers)); return node; } ``` #### 插入机制 当向已存在的B+里添加新元素时,如果目标位置所在的节点未满,则直接加入;否则需对该节点执行分裂动作,并可能进一步引发上层乃至整棵的高度增加现象发生。 具体步骤如下: - 定位适合放置新增加项目的最低层次上的适当位置; - 如果该处有足够的剩余容量接纳此项目则正常安插进去即可完成整个流程; - 否则就要把现有内容均分两部分形成两个独立的新实体出来再重新调整相互间的关系直至达到稳定为止。 #### 查询逻辑 由于每个分支都能覆盖一定区间内的数值分布情况再加上末端环节之间存在横向关联关系的缘故所以无论是单点定位还是连续片段检索都能够快速准确地达成目的。 例如要寻找某个特定值X是否存在的话只需沿着由高到底逐级比较沿途遇到的最大不超过它的那个边界值所指示的方向前进最终到达相应的位置验证一下就可以了而不需要像传统二叉搜索那样反复回溯造成额外开销。 另外得益于底部串联特性即使面对大量密集排列在一起的目标群体也能轻易获取它们在整个序列里的确切方位从而极大地提升了整体性能表现水平。 ---
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