回溯——n皇后问题收藏

最新推荐文章于 2025-11-26 15:16:48 发布

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思想：

用回溯方法求解，首先要分析问题的求解空间。可用一棵n叉树表示这个问题的求解空间，在回溯遍历这个课二叉树的过程中形成合理的解。

对于这棵n叉树，列序号i（0~n-1）是它的孩子，而每个孩子都有深度为n的子树（包括自身），这些子树的层次是n个皇后（也代表每个皇后的行序号，因为不同的皇后肯定不在同一行）。于是，遍历这个n叉树的每个孩子结点到叶子节点便得到一个合理解。遍历时，先从第一个孩子（第一行）开始遍历，深度遍历这个孩子子树，直到找到（1）一个合理解或者（2）剪去不存在合理解的分枝。对于（1）表明已经遍历到了叶子节点，亦即所有的皇后都找到了一个合理的位置，对于（2）表明在某个层次的皇后节点不能找到一个合理位置，于是停止深度遍历，将此分枝剪去。不管对于哪种情况，此时要向上层回溯，继续探索合理的解。直到整个n叉树都遍历完。

比如对于4个皇后的情况，首先让第一个皇后占据x[0][0](第一行第一列)，然后让第二个皇后在第二行寻找合适的位置x[1][2](第二行，第3列)，第三个皇后在第三行寻找合适的位置，此时第三个皇后已经不能找到合适位置，于是将此分枝剪去。回溯到第二个皇后（第二行），探索新的位置，此时对于第二个皇后已经不能找到合理位置。回溯到第一个皇后（第一行），探索新的位置。此时，让第一个皇后占据第一行第二列x[0][1]，依次回溯，直到第一个皇后的所有列都试探完毕，也就遍历完了n叉树。

下面给出递归和非递归的实现：

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递归实现：
1 #include <stdio.h>
2 #include <stdlib.h>
3 #include <math.h>
4 #define N 8
5
6 int x[N];//x[i]代表第i个皇后的列序号，行序号是下标i
7 int sum;
8 bool place(int i)
9 {
10 int j=0;
11 for(j =0;j<i;j++)
12 if(abs(x[i]-x[j]) == abs(i-j)|| x[j] == x[i])
13 return false;
14 return true;
15 }
16 void back_queen(int t)
17 {
18 int i =0;
19 if(t>N-1)
20 sum++;
21 else
22 {
23 for(i=0;i<N;i++)//探索第t层(第t个皇后)的所有列号
24 {
25 x[t]=i;
26 if(place(t))
27 back_queen(t+1);
28 x[t]=0;
29 }
30 }
31 }
32 int main()
33 {
34 back_queen(0);
35 printf("sum = %d/n",sum);
36 }

递归实现：
1 #include <stdio.h>
2 #include <stdlib.h>
3 #include <math.h>
4 #define N 8
5
6 int x[N];//x[i]代表第i个皇后的列序号，行序号是下标i
7 int sum;
8 bool place(int i)
9 {
10 int j=0;
11 for(j =0;j<i;j++)
12 if(abs(x[i]-x[j]) == abs(i-j)|| x[j] == x[i])
13 return false;
14 return true;
15 }
16 void back_queen(int t)
17 {
18 int i =0;
19 if(t>N-1)
20 sum++;
21 else
22 {
23 for(i=0;i<N;i++)//探索第t层(第t个皇后)的所有列号
24 {
25 x[t]=i;
26 if(place(t))
27 back_queen(t+1);
28 x[t]=0;
29 }
30 }
31 }
32 int main()
33 {
34 back_queen(0);
35 printf("sum = %d/n",sum);
36 }
~ view plaincopy to clipboardprint?
迭代实现：
1 #include <stdio.h>
2 #include <stdlib.h>
3 #define N 8
4
5 int x[N];
6 int sum;
7 bool place(int i)
8 {
9 int j=0;
10 for(j =0;j<i;j++)
11 if(abs(x[i]-x[j]) == abs(i-j)|| x[j] == x[i])
12 return false;
13 return true;
14 }
15 void queen()
16 {
17 x[0]=-1;//初始化第一个皇后的坐标，在第一行第一列
18 int k = 0;//表示列号
19 while(k>=0)
20 {
21 x[k]+=1;//此时对于第k个皇后，列号向右移动，表示，当回溯到这一层时0~x[k]-1已经探索过了，接着往后探索
22 while(x[k]<N && !place(k)) x[k]++;//对于第k个皇后，找到一个合适的位置
23 if(x[k]<N)
24 {
25 if(k==N-1)
26 sum ++;//如果k已经是最后一个皇后，则找到了一个方案
27 else// 否则，继续探索下一个皇后
28 {
29 k++;
30 x[k] = -1;
31 }
32 }
33 else//对于第k个皇后，没有找到一个合适的位置，这相对于搜索树的第k层，于是对于这个节点的子树不再搜索,回溯到上一层
34 k--;
35 }
36 }
37 int main()
38 {
39 queen();
40 printf("sum = %d/n",sum);
41 }