连续子序列最大和问题

连续子序列最大和问题:下面列出了立方求解、平方求解以及线性求解算法。

/**
 * 
 * @author wawlian
 * 连续子序列最大和问题
 *
 */

public class MaxSubSequence {
	
	//标注子序列起始位置
	private static int seqStart = 0;
	
	//标注子序列终止位置
	private static int seqEnd = 0;
	
	/**
	 * 连续子序列最大和问题的立方求解算法
	 * @param a 整数序列组成的数组
	 * @return 最大子序列之和的值
	 */
	public static int maxSubSequenceSum(int[] a) {
		int maxSum = 0;
		//用i来标记每个序列的起始位置
		for(int i = 0; i < a.length; i++) {
			//用j来标记每个序列的终止位置
			for(int j = 0; j < a.length; j++) {
				int thisSum = 0;
				for(int k = i; k <= j; k++) {
					thisSum += a[k];
					if(thisSum > maxSum) {
						maxSum = thisSum;
						seqStart = i;
						seqEnd = j;
					}
				}
			}
		}
		return maxSum;
	}
	
	/**
	 * 连续子序列最大和问题的平方求解算法
	 * @param a 整数序列组成的数组
	 * @return 最大子序列之和的值
	 */
	public static int maxSubSequenceSum1(int[] a) {
		int maxSum = 0;
		for(int i = 0; i < a.length; i++) {
			int thisSum = 0;
			for(int j = i; j < a.length; j++) {
				thisSum += a[j];
				if(thisSum > maxSum) {
					maxSum = thisSum;
					seqStart = i;
					seqEnd = j;
				}
			}
		}
		return maxSum;
	}
	
	/**
	 * 连续子序列最大和问题的线性求解算法
	 * @param a 整数序列组成的数组
	 * @return 最大子序列之和的值
	 */
	public static int macSubSequenceSum2(int[] a) {
		int maxSum = 0;
		int thisSum = 0;
		for(int i = 0, j = 0; j < a.length; j++) {
			thisSum += a[j];
			if(thisSum > maxSum) {
				maxSum = thisSum;
				seqStart = i;
				seqEnd = j;
			}
			else if(thisSum < 0) {
				i = j + 1;
				thisSum = 0;
			}
		}
		return maxSum;
	}	
}

 

### C语言实现连续子序列最大和问题 #### 穷举法 (O(n³)) 穷举法通过三重嵌套循环来遍历所有的可能子序列并计算其和。这种方法虽然简单易懂,但由于时间复杂度较高,仅适用于较小的数据集。 以下是基于引用的内容所描述的穷举法实现[^1]: ```c #include <stdio.h> void maxSubsequenceSumExhaustive(int a[], int size) { int max = a[0]; int start = 0, end = 0; for (int i = 0; i < size; i++) { // 遍历起点 for (int j = i; j < size; j++) { // 遍历终点 int tempSum = 0; for (int k = i; k <= j; k++) { // 计算当前子序列的和 tempSum += a[k]; } if (tempSum > max) { // 更新最大值及其对应的索引范围 max = tempSum; start = i; end = j; } } } printf("Max sum: %d\n", max); printf("Start index: %d, End index: %d\n", start, end); } int main() { int a[] = {-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4}; int size = sizeof(a)/sizeof(a[0]); maxSubsequenceSumExhaustive(a, size); return 0; } ``` --- #### 分治法 (O(n log n)) 分治法的核心思想是将原问题分解成更小的子问题递归求解,并最终合并这些子问题的结果得到全局最优解。此方法的时间复杂度较低,适合较大规模的数据集合。 下面是基于分治法的C语言实现[^2]: ```c #include <stdio.h> #include <limits.h> // 辅助函数:返回跨越中间点的最大子序列和 int maxCrossingSum(int a[], int low, int mid, int high) { int left_sum = INT_MIN; int right_sum = INT_MIN; int sum = 0; for (int i = mid; i >= low; i--) { // 左半部分 sum += a[i]; if (sum > left_sum) { left_sum = sum; } } sum = 0; for (int i = mid + 1; i <= high; i++) { // 右半部分 sum += a[i]; if (sum > right_sum) { right_sum = sum; } } return left_sum + right_sum; } // 主递归函数 int maxSubarraySumDivideConquer(int a[], int low, int high) { if (low == high) { // 基本情况:只有一个元素 return a[low]; } int mid = (low + high) / 2; // 返回左、右以及跨中三个区域的最大值 return (int)fmax( fmax(maxSubarraySumDivideConquer(a, low, mid), maxSubarraySumDivideConquer(a, mid + 1, high)), maxCrossingSum(a, low, mid, high)); } int main() { int a[] = {-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4}; int size = sizeof(a)/sizeof(a[0]); int result = maxSubarraySumDivideConquer(a, 0, size - 1); printf("Max subarray sum using divide and conquer is %d\n", result); return 0; } ``` --- #### 动态规划/在线算法 (O(n)) 动态规划是一种高效的解决方案,它利用了之前已知的信息逐步构建最终结果。对于每一个新加入的元素,只需判断将其纳入现有子序列还是重新开始一个新的子序列即可完成更新操作。 这是依据在线算法设计思路的一个高效版本[^3]: ```c #include <stdio.h> #include <stdlib.h> int maxSubSeqSumOnline(int a[], int length){ int maxSoFar = a[0], currentMax = a[0]; for(int i=1;i<length;i++){ currentMax = ((currentMax+a[i])>(a[i]))?(currentMax+a[i]):(a[i]); maxSoFar = (currentMax>maxSoFar)?currentMax:maxSoFar; } return maxSoFar; } int main(){ int array[] = {-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4}; int len = sizeof(array)/sizeof(array[0]); int res = maxSubSeqSumOnline(array, len); printf("Maximum Subarray Sum Online Algorithm Result:%d \n",res); return 0; } ``` --- #### 总结 上述三种方法各有优劣: - **穷举法**易于理解但效率低下; - **分治法**提供了较好的性能改进但仍需额外的空间开销; - **在线算法**则以其线性的运行时间和常量空间需求成为实际应用中最常用的选择。
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