线段树详解：原理、实现与应用-优快云博客

本文深入解析线段树的概念、存储结构、关键操作及其在区间查询、修改等场景的应用。通过详细代码示例，展示了如何构建、插入、查询和删除线段树元素，以及其在实际问题解决中的高效性能。

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一、线段树基本概念

线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。
对于线段树中的每一个非叶子节点[a,b]，它的左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2+1,b]。因此线段树是平衡二叉树，最后的子节点数目为N，即整个线段区间的长度。

使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为O(logN）。而未优化的空间复杂度为2N，因此有时需要离散化让空间压缩。

性质：父亲的区间是[a,b],(c=(a+b)/2)左儿子的区间是[a,c]，右儿子的区间是[c+1,b]，线段树需要的空间为数组大小的四倍

二、线段树的存储数据结构

由上面的图可以看出，存储一颗线段树和二叉树有点类似，需要左孩子和右孩子节点，另外，为了存储每条线段出现的次数，所以一般会加上计数的元素，其具体如下：

[cpp] view plain copy print ?

structNode//线段树
{
intleft;
intright;
intcounter;
}segTree[4*BORDER];

struct Node         // 线段树
{
	int left;
	int right;
	int counter;
}segTree[4*BORDER];

其中，;left代表左端点、right代表右端点，counter代表每条线段出现的次数，BORDE代表线段端点坐标不超过100。由上面的性质可以知道，我们需要4倍的空间来存储。

三、线段树支持的操作

一颗线段树至少支持以下四个操作：

void construct(int index, int lef, int rig)，构建线段树根节点开始构建区间[lef,rig]的线段树
void insert(int index, int start, int end)，插入线段[start,end]到线段树, 同时计数区间次数
int query(int index, int x)，查询点x的出现次数，从根节点开始到[x,x]叶子的这条路径中所有点计数相加方为x出现次数
void delete_ (int c , int d, int index)，从线段树中删除线段[c,d]

具体操作如下：

1、线段树的创建

[cpp] view plain copy print ?

/*构建线段树根节点开始构建区间[lef,rig]的线段树*/
voidconstruct(intindex,intlef,intrig)
{
segTree[index].left=lef;
segTree[index].right=rig;
if(lef==rig)//叶节点
{
segTree[index].counter=0;
return;
}
intmid=(lef+rig)>>1;
construct((index<<1)+1,lef,mid);
construct((index<<1)+2,mid+1,rig);
segTree[index].counter=0;
}

/* 构建线段树 根节点开始构建区间[lef,rig]的线段树*/
void construct(int index, int lef, int rig)
{
	segTree[index].left = lef;
	segTree[index].right = rig;
	if(lef == rig)   // 叶节点
	{
		segTree[index].counter = 0;
		return;
	}
	int mid = (lef+rig) >> 1;
	construct((index<<1)+1, lef, mid);
	construct((index<<1)+2, mid+1, rig);
	segTree[index].counter = 0;
}

2、线段树的元素插入

[cpp] view plain copy print ?

/*插入线段[start,end]到线段树,同时计数区间次数*/
voidinsert(intindex,intstart,intend)
{
if(segTree[index].left==start&&segTree[index].right==end)
{
++segTree[index].counter;
return;
}
intmid=(segTree[index].left+segTree[index].right)>>1;
if(end<=mid)//左子树
{
insert((index<<1)+1,start,end);
}elseif(start>mid)//右子树
{
insert((index<<1)+2,start,end);
}else//分开来了
{
insert((index<<1)+1,start,mid);
insert((index<<1)+2,mid+1,end);
}
}

/* 插入线段[start,end]到线段树, 同时计数区间次数 */
void insert(int index, int start, int end)
{
	if(segTree[index].left == start && segTree[index].right == end)
	{
		++segTree[index].counter;
		return;
	}
	int mid = (segTree[index].left + segTree[index].right) >> 1;
	if(end <= mid)//左子树 
	{
		insert((index<<1)+1, start, end);
	}else if(start > mid)//右子树 
	{
		insert((index<<1)+2, start, end);
	}else//分开来了 
	{
		insert((index<<1)+1, start, mid);
		insert((index<<1)+2, mid+1, end);
	}
}

3、线段树的元素查找

[cpp] view plain copy print ?

/*查询点x的出现次数
*从根节点开始到[x,x]叶子的这条路径中所有点计数相加方为x出现次数
*/
intquery(intindex,intx)
{
if(segTree[index].left==segTree[index].right)//走到叶子，返回
{
returnsegTree[index].counter;
}
intmid=(segTree[index].left+segTree[index].right)>>1;
if(x<=mid)
{
returnsegTree[index].counter+query((index<<1)+1,x);
}
returnsegTree[index].counter+query((index<<1)+2,x);
}

/* 查询点x的出现次数 
 * 从根节点开始到[x,x]叶子的这条路径中所有点计数相加方为x出现次数
 */
int query(int index, int x)
{
	if(segTree[index].left == segTree[index].right) // 走到叶子，返回
	{
		return segTree[index].counter;
	}
	int mid = (segTree[index].left+segTree[index].right) >> 1;
	if(x <= mid)
	{
		return segTree[index].counter + query((index<<1)+1,x);
	}
	return segTree[index].counter + query((index<<1)+2,x);
}

4、线段树的元素删除

[cpp] view plain copy print ?

voiddelete_(intc,intd,intindex)
{
if(c<=segTree[index].left&&d>=segTree[index].right)
segTree[index].counter--;
else
{
if(c<(segTree[index].left+segTree[index].right)/2)delete_(c,d,segTree[index].left);
if(d>(segTree[index].left+segTree[index].right)/2)delete_(c,d,segTree[index].right);
}
}

void  delete_ (int c , int  d, int index)
{
       if(c <= segTree[index].left && d >= segTree[index].right) 
           segTree[index].counter--;
       else 
       {
          if(c < (segTree[index].left + segTree[index].right)/2 ) delete_( c,d, segTree[index].left);
          if(d > (segTree[index].left + segTree[index].right)/2 ) delete_( c,d, segTree[index].right);
       }
}