heru 1280 Turn the corner(08哈尔滨网赛三分)-优快云博客

本文探讨了在特定几何条件下，汽车是否能顺利通过直角弯道的问题，通过数学建模和函数分析，提供了一种判断方法。文章详细介绍了如何通过设定坐标系，利用三角函数和二次函数来求解汽车转弯的最小空间需求，确保车辆安全通过弯道。

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题目：有一个直角弯道，两条路的宽分别为x,y,汽车的长为l,宽为w，问能否转过去。

用一个别人的图:

我们将车子尽量靠在右边和下边的边界，以右下角为坐标原点，建立坐标系，写出车子的内边界的直线方程

即图中所示，斜率确定，然后上移。

那么这样就可以得到P点坐标，将Y=x代入，得到x/tan(a)-l/cos(a)-w*sin(a)。

我们只要求出最小值，如果大于-y便可以转过去。

分析这个函数，首先求一次导

f’=l/cos^2(a)-x/sin^2(a)-w*cos(a)，没有明显的单调性。再求一次导

f''=2*l*sin(a)/cos^3(a)+2*x*cos(a)/sin^3(a)+w*sin(a)。

由于角度在0-90度之间，所以二阶导非负，为凹函数，三分求最小值。

注意还得特判初始宽度是否能够容纳

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define eps 1e-7
using namespace std;
double x,y,l,w;
double cal(double a){
    return (x-l*sin(a)-w/cos(a))/tan(a);
}
int main(){
    while(scanf("%lf%lf%lf%lf",&x,&y,&l,&w)!=EOF){
        double low=0,high=acos(-1.0)/2,mid,midd;
        while(fabs(high-low)>eps){
            mid=(low+high)/2;
            midd=(mid+high)/2;
            if(cal(mid)<cal(midd))
                high=midd;
            else
                low=mid;
        }
        if(cal(low)<-y||x<w||y<w)  puts("no");
        else puts("yes");
    }
    return 0;
}