平均需要扔多少次硬币才能够得到连续2个正面 [# 12]

给你一个硬币，扔到正面的概率是p，扔到负面的概率是 1- p。问题是：平均需要扔多少次，才能得到连续的2个正面。

例子：假设正面用 A 表示， 负面是 B表示 ，那么两个连续正面必须是 AA挨着，不能是 A B A B 这样的。

分析：

假设需要 T 次。 如果我们扔的第一次就是负面，那么第一次就白搭，我们还需要再扔 T 次 （有点混，需要认真思考把它想清楚）。如果我们第一次扔的是正面，那么第二次有可能是正面，也有可能是负面，如果是正面，刚好，满足情况；如果是负面，前面两次就白搭了，我们需要再扔 T次。

所以， T = （1 - p）(1 + T) + p(1 - p) (2 + T) + p * p * 2

解释：（1 - p）(1 + T) 指的是 第一次扔负面的情况，p(1 - p) (2 + T) 指的是第一次扔正面，第二次扔负面的情况，p * p * 2 指的是第一次和第二次都扔到正面的情况。

解出来 T = (1 + p) / p^2

假设要求连续扔出3个正面，那个式子就是：

T =（1 - p）(1 + T) + p(1 - p) (2 + T) + p^2((1 - p) (3 + T)) + p * p * p* 3

T = (1 + p + p^2) / p^3

如果要求扔出 n 个正面，T = (p ^ (-n) - 1) / (1 - p)

扩展：

要求连续扔 n 个正面，目前已经扔了 m 个正面， 请问还需要扔多少次才能达到 n 个正面？

分析：

利用类似的分析方法，如果我们下一次扔出正面，就相当于已经扔出了m+1个正面，而如果扔出了一个负面，前面m个正面其实是白搭，我们需要从头开始扔 n 个正面。前面部分我们已经讲了扔n 个正面需要的次数T。如果我们写一个递归函数，那么这个这个递归为：

假设 T (n, m) 为 我们的答案，那么 T(n, m ) = p ( 1 + T (n, m+1) ) + (1 - p) (1 + T (n, 0))。 退出条件为 m = n, 此时 T (n, m) = 0.

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