深入解析AVL树的原理与实现
10.1基本概念
AVL树的复杂程度真是比二叉搜索树高了整整一个数量级——它的原理并不难弄懂，但要把它用代码实现出来还真的有点费脑筋。下面我们来看看：
10.1.1AVL树是什么？
AVL树本质上还是一棵二叉搜索树（因此读者可以看到我后面的代码是继承自二叉搜索树的），它的特点是：
-
本身首先是一棵二叉搜索树。
-
带有平衡条件：每个结点的左右子树的高度之差的绝对值（平衡因子）最多为1。
例如：
5 5 / \ / \ 2 6 2 6 / \ \ / \ 1 4 7 1 4 / / 3 3
上图中，左边的是AVL树，而右边的不是。因为左边的树的每个结点的左右子树的高度之差的绝对值都最多为1，而右边的树由于结点6没有子树，导致根结点5的平衡因子为2。
10.1.2为什么要用AVL树？
有人也许要问：为什么要有AVL树呢？它有什么作用呢？
我们先来看看二叉搜索树吧（因为AVL树本质上是一棵二叉搜索树），假设有这么一种极端的情况：二叉搜索树的结点为1、2、3、4、5，也就是：
1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5
聪明的你是不是发现什么了呢？呵呵，显而易见——这棵二叉搜索树其实等同于一个链表了，也就是说，它在查找上的优势已经全无了——在这种情况下，查找一个结点的时间复杂度是O(N)！
好，那么假如是AVL树（别忘了AVL树还是二叉搜索树），则会是：
2 / \ 1 4 / \ 3 5
可以看出，AVL树的查找平均时间复杂度要比二叉搜索树低——它是O(logN)。也就是说，在大量的随机数据中AVL树的表现要好得多。
10.1.3旋转
假设有一个结点的平衡因子为2（在AVL树中，最大就是2，因为结点是一个一个地插入到树中的，一旦出现不平衡的状态就会立即进行调整，因此平衡因子最大不可能超过2），那么就需要进行调整。由于任意一个结点最多只有两个儿子，所以当高度不平衡时，只可能是以下四种情况造成的：
-
对该结点的左儿子的左子树进行了一次插入。
-
对该结点的左儿子的右子树进行了一次插入。
-
对该结点的右儿子的左子树进行了一次插入。
-
对该结点的右儿子的右子树进行了一次插入。
情况1和4是关于该点的镜像对称，同样，情况2和3也是一对镜像对称。因此，理论上只有两种情况，当然了，从编程的角度来看还是四种情况。
第一种情况是插入发生在“外边”的情况（即左-左的情况或右-右的情况），该情况可以通过对树的一次单旋转来完成调整。第二种情况是插入发生在“内部”的情况（即左-右的情况或右-左的情况），该情况要通过稍微复杂些的双旋转来处理。
关于旋转的具体理论分析和例子请参阅教科书，我实在不想在这里重新打一次了……就此省略65535个字，原谅我吧，出来混，迟早要还的。
10.2代码实现
二叉树的代码实现如下：
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// // // FileName : avltree.h // Version : 0.10 // Author : Luo Cong // Date : 2005-1-20 17:04:31 // Comment : // /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// #ifndef __AVL_TREE_H__ #define __AVL_TREE_H__ #include "../../bstree/src/bstree.h" template<typename T> class CAVLTree : public CBSTree<T> { private: CBTNode<T>* Insert(const T &data, CBTNode<T> *p); public: CBTNode<T>* SingleRotateWithLeft(CBTNode<T> *p); CBTNode<T>* DoubleRotateWithLeft(CBTNode<T> *p); CBTNode<T>* SingleRotateWithRight(CBTNode<T> *p); CBTNode<T>* DoubleRotateWithRight(CBTNode<T> *p); CBTNode<T>* Insert(const T &data); CBTNode<T>* Delete(const T &data); }; template<typename T> inline CBTNode<T>* CAVLTree<T>::SingleRotateWithLeft(CBTNode<T> *p) { CBTNode<T> *p2; // rotate p2 = p->left; p->left = p2->right; p2->right = p; // update parent relationship p2->parent = p->parent; p->parent = p2; if (p->left) p->left->parent = p; // update root node if necessary if (p == m_pNodeRoot) m_pNodeRoot = p2; return p2; // New root } template<typename T> inline CBTNode<T>* CAVLTree<T>::DoubleRotateWithLeft(CBTNode<T> *p) { p->left = SingleRotateWithLeft(p->left); return SingleRotateWithLeft(p); } template<typename T> inline CBTNode<T>* CAVLTree<T>::SingleRotateWithRight(CBTNode<T> *p) { CBTNode<T> *p2; // rotate p2 = p->right; p->right = p2->left; p2->left = p; // update parent relationship p2->parent = p->parent; p->parent = p2; if (p->right) p->right->parent = p; // update root node if necessary if (p == m_pNodeRoot) m_pNodeRoot = p2; return p2; // New root } template<typename T> inline CBTNode<T>* CAVLTree<T>::DoubleRotateWithRight(CBTNode<T> *p) { p->right = SingleRotateWithLeft(p->right); return SingleRotateWithRight(p); } template<typename T> inline CBTNode<T>* CAVLTree<T>::Insert(const T &data) { return Insert(data, m_pNodeRoot); } template<typename T> inline CBTNode<T>* CAVLTree<T>::Insert(const T &data, CBTNode<T> *p) { if (NULL == p) { // Create and return a one-node tree p = new CBTNode<T>; if (NULL == p) return NULL; else { p->data = data; p->left = NULL; p->right = NULL; if (NULL == m_pNodeRoot) { m_pNodeRoot = p; m_pNodeRoot->parent = NULL; } } } // left child else if (data < p->data) { p->left = Insert(data, p->left); if (p->left) p->left->parent = p; if (2 == (GetDepth(p->left) - GetDepth(p->right))) { // left tree, need to do single rotation if (data < p->left->data) p = SingleRotateWithLeft(p); // right tree, need to do double rotation else p = DoubleRotateWithLeft(p); } } // right child else if (data > p->data) { p->right = Insert(data, p->right); if (p->right) p->right->parent = p; if (2 == (GetDepth(p->right) - GetDepth(p->left))) { // right tree, need to do single rotation if (data > p->right->data) p = SingleRotateWithRight(p); // left tree, need to do double rotation else p = DoubleRotateWithRight(p); } } // else data is in the tree already, we'll do nothing! return p; } template<typename T> inline CBTNode<T>* CAVLTree<T>::Delete(const T &data) { // not completed yet. return NULL; } #endif // __AVL_TREE_H__
测试代码：
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// // // FileName : avltree.cpp // Version : 0.10 // Author : Luo Cong // Date : 2005-1-20 17:06:50 // Comment : // /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// #include "avltree.h" int main() { CAVLTree<int> avltree; #ifdef _DEBUG _CrtSetDbgFlag(_CRTDBG_ALLOC_MEM_DF | _CRTDBG_LEAK_CHECK_DF); #endif avltree.Insert(1); avltree.Insert(2); avltree.Insert(3); avltree.Insert(4); }
10.3说明
我的AVL树是从二叉搜索树继承而来的（还记得我的二叉搜索树又是从二叉树继承来的吗？^_^）。另外，由于水平的关系，我没有写出Delete()函数来，因此如果您使用了Delete()，那是不会有效果的。-_-b...
插入的核心思路是通过递归（又是递归！）找到合适的位置，插入新结点，然后看新结点是否平衡（平衡因子是否为2），如果不平衡的话，就分成两种大情况以及两种小情况：
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在结点的左儿子(data < p->data)
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在左儿子的左子树((data < p->data) AND (data < p->left->data))，“外边”，要做单旋转。
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在左儿子的右子树((data < p->data) AND (data > p->left->data0))，“内部”，要做双旋转。
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在结点的右儿子(data > p->data)
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在右儿子的左子树((data > p->data) AND (data < p->right->data))，“内部”，要做双旋转。
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在右儿子的右子树((data > p->data) AND (data > p->right->data))，“外边”，要做单旋转。
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代码已经写得很清楚了，我就不多废话了，关键在于动手去调试，这样才能弄明白。值得说明的是，当进行了旋转之后，必定会有结点的“父结点”是需要更新的，例如：
2 / \ 1 4 / \ 3 5 \ 6
上图是调整前的，下图是调整后的：
4 / \ 2 5 / \ \ 1 3 6
可以看出，根结点2不平衡，是由于它的右儿子的右子树插入了新的结点6造成的。因此，这属于“外边”的情况，要进行一次单旋转。于是我们就把结点4调整上来作为根结点，再把结点2作为4的左儿子，最后把结点2的右儿子修改为原来的结点4的左儿子。
调整后的parent指针变化规律如下：
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调整前的右儿子（调整后它就变为父亲了）的parent指针应该指向调整前的父亲（调整后它就变成左儿子了）的parent指针。
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调整前的父亲（调整后它就变成左儿子了）的parent指针应该指向调整前的右儿子（调整后它就变成父亲了）。
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调整前的父亲的右儿子的parent指针应该指向调整前的右儿子的左儿子。
很难理解是吗？我来联系到上图说明：
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调整前的右儿子是结点4，调整后，它的parent指针应该指向调整前它的父亲的parent指针，也就是NULL，因为调整前结点4的父亲是结点2，而结点2是根结点，其parent指针为NULL。
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调整前的父亲是结点2，调整后，它的parent指针应该指向调整前的右儿子（结点4）。
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调整前的父亲的右儿子（也就是调整后的结点2的右儿子）应该指向调整前的右儿子（结点4）的左儿子（结点3）。
这是SingleRotateWithRight()里面对parent指针的处理，SingleRotateWithLeft()里面的道理也是相通的，只是顺序有点不同。
呵呵，希望没把您弄晕。^_^
AVL树就讲到这里了，如果您有兴趣，可以把Delete()函数写完，并请给我一份以便我学习。
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