B 最大覆盖

本文介绍了一次北邮的月赛题目,主要涉及广度优先搜索(BFS)的基础应用,通过代码实例深入浅出地解释了如何使用BFS解决特定问题,适合初学者入门。

这是北邮12月月赛题,,广搜入门。。。。

#include<iostream> #include<queue> using namespace std; typedef struct {int x,y; }Node; Node p; int dx[4]={0,0,-1,1}; int dy[4]={1,-1,0,0}; int aa[20][20]; char map[20][20]; bool visit[20][20]; int ans; queue<Node> Q; int n,m; void bfs() { while(!Q.empty()) { Node v=Q.front(); Q.pop(); for(int i=0;i<4;++i) { int xx=v.x+dx[i]; int yy=v.y+dy[i]; if(xx>=0&&xx<m&&yy>=0&&yy<n&&aa[xx][yy]&&!visit[xx][yy]) { ans++; visit[xx][yy]=true; p.x=xx;p.y=yy; Q.push(p); } } } } int main() { while(cin>>n>>m&&n&&m) { ans=1; for(int i=0;i<m;++i) for(int j=0;j<n;++j) { cin>>map[i][j]; if(map[i][j]=='.') aa[i][j]=1; else if(map[i][j]=='#') aa[i][j]=0; else {p.x=i;p.y=j;} } memset(visit,false,sizeof(visit)); Q.push(p); visit[p.x][p.y]=true; bfs(); cout<<ans<<endl; }return 0; }

<think>嗯,用户现在想了解最小路径覆盖最大流之间的关系、应用或相关算法。首先,我需要回顾之前提供的参考资料。引用[1]到[5]都提到了最小路径覆盖可以通过二分图最大匹配来解决,而最大匹配又可以通过最大流算法来求解。所以核心思路应该是:最小路径覆盖 → 二分图最大匹配 → 最大流问题。 用户可能是在学习图论或者准备算法竞赛,需要理清这些概念之间的关系。ta的深层需求可能是理解如何将最小路径覆盖问题转化为最大流模型,以及具体的实现步骤。引用[2]和[3]中提到的公式"最小路径覆盖 = 原图节点数 - 最大匹配数"是关键,而引用[4]和[5]补充了网络流建模的细节。 接下来需要解释清楚转化步骤:构建二分图时,将每个点拆分成入点和出点,原图中的有向边转化为从左部出点到右部入点的边。这样,二分图的最大匹配就对应了路径合并的过程。而求最大匹配可以用匈牙利算法,但更高效的是用最大流算法——添加超级源点和汇点,所有边容量设为1,跑Dinic算法就能得到最大匹配数。 用户可能还关心实际应用,比如DAG的任务调度或代码分析中的调用链覆盖。引用[5]提到的路径输出方法也很实用,通过match数组反向追踪,这在实际编码时很重要。 最后要考虑如何组织答案。先定义最小路径覆盖,再分步骤解释转化原理,突出最大流的作用,最后给出复杂度分析和应用场景。相关问题的设计要引导用户深入思考,比如优化方法、带权扩展或实际案例的区别处理。 </think>最小路径覆盖问题与最大流算法之间存在紧密的理论联系,核心思路是通过**网络流模型求解二分图最大匹配**,进而解决最小路径覆盖问题。以下是关键关系及算法实现详解: --- ### **一、最小路径覆盖最大流的关系** #### 1. **问题转化链** 最小路径覆盖问题可通过以下步骤转化为最大流问题: > **最小路径覆盖** → **二分图最大匹配** → **网络最大流** - **最小路径覆盖定义**: 用最少的**不相交路径**覆盖有向无环图(DAG)的所有顶点。若路径数为 $k$,则需满足 $k = \min |\mathcal{P}|$,其中 $\mathcal{P}$ 是路径集合。 - **关键公式**: $$ \text{最小路径覆盖数} = n - \text{二分图最大匹配数} $$ ($n$ 为原图顶点数,证明见引用[2][3]) #### 2. **二分图建模方法** 1. **拆分顶点**: 将原图 $G$ 中每个顶点 $u$ 拆分为**左部点 $u$(出点)** 和**右部点 $u'$(入点)**。 2. **构建边集**: 对原图的每条有向边 $u \to v$,在二分图中添加边 $u \to v'$(如图): ```mermaid graph LR A[原图DAG] -->|u→v| B[二分图] subgraph 二分图结构 L1(u) --> R1(v') L2(v) --> R2(w') end ``` #### 3. **最大流建模** 将二分图匹配转化为网络流问题: - **超级源点 $S$**:连接所有左部点(出点),容量为 $1$。 - **超级汇点 $T$**:所有右部点(入点)连接到 $T$,容量为 $1$。 - **原二分图边**:容量均为 $1$(保证每条边仅用一次)。 ```mermaid graph LR S((S)) -->|cap=1| L1(u) S -->|cap=1| L2(v) L1 -->|u→v' cap=1| R1(v') L2 -->|v→w' cap=1| R2(w') R1 -->|cap=1| T((T)) R2 -->|cap=1| T ``` --- ### **二、求解算法流程** #### **步骤 1:二分图最大匹配** 使用 **Dinic 算法**(高效网络流算法)求解上述网络的最大流: - **复杂度**:$O(n^{1/2}m)$,其中 $n$ 为顶点数,$m$ 为边数。 - **最大匹配数 $M$** = 最大流量值。 #### **步骤 2:计算最小路径覆盖数** $$ \text{最小路径覆盖数} = n - M $$ #### **步骤 3:输出具体路径方案** 1. 从所有**未匹配的左部点**开始(即无入边的路径起点)。 2. 根据残量网络中匹配边 $u \to v'$ 的反向边 $v' \to u$(流量为 $1$),回溯路径: - 若 $match[v'] = u$,则 $u \to v$ 属于同一条路径(引用[5])。 3. 遍历所有起点即可得到所有路径。 --- ### **三、应用场景** 1. **任务调度优化** DAG 顶点表示任务,边表示依赖关系。最小路径覆盖对应**最少执行批次**,每批任务可并行处理。 2. **代码调用链分析** 函数调用图的最小路径覆盖可定位**关键执行链路**。 3. **物流路径规划** 仓库节点间运输路线需覆盖所有节点且路径最少,降低运输成本。 --- ### **四、算法实现示例(Dinic 求最大流)** ```python from collections import deque def dinic(graph, s, t): # graph: 残量网络 {u: {v: cap}} level = [-1] * len(graph) def bfs(): queue = deque([s]) level[:] = [-1] * len(graph) level[s] = 0 while queue: u = queue.popleft() for v, cap in graph[u].items(): if cap > 0 and level[v] == -1: level[v] = level[u] + 1 queue.append(v) return level[t] != -1 def dfs(u, flow_in): if u == t: return flow_in flow_out = 0 for v, cap in list(graph[u].items()): if cap > 0 and level[v] == level[u] + 1: f = dfs(v, min(flow_in, cap)) graph[u][v] -= f graph[v][u] += f # 添加反向边 flow_in -= f flow_out += f return flow_out max_flow = 0 while bfs(): max_flow += dfs(s, float('inf')) return max_flow # 示例调用:构建网络流图后求解 n = 4 # 原图顶点数 graph = { ... } # 构建含超级源点S、超级汇点T的残量网络 max_match = dinic(graph, s=0, t=2*n+1) # 假设S=0, T=2n+1 min_path_cover = n - max_match ``` --- ### **
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值