hdu 1171 多重背包-优快云博客

本文探讨了背包问题中如何通过状态转移方程和优化方法，最大化物品的价值总和。详细介绍了不同情况下的物品处理策略，包括完全背包、分解物品等，并提供了实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171

问题描述：有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

状态转移方程：
f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}

优化方法：

对于第i件物品：

1.若总价值大于等于背包容量，则等价于“完全背包”

2.若总价值小于背包容量，则可用二进制思想将物品分解成若干种费用的物品，这些物品需满足总价值不变，能组合出不大于总价值的任意价值；

分解方法：将物品i的费用和价值乘以特定的系数，这些系数分别为1,2,4,...,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k是满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如，如果n[i]为13，系数分别为1,2,4,6。

实现过程见代码。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define N 50
#define max(a,b) a>b?a:b
#define min(a,b) a<b?a:b
int f[N*N*N+5],c[N+5],cnt[N+5],V;
void ZeroOnePack(int cost,int weight)
{
	int j;
	for(j=V;j>=cost;j--)
		f[j]=max(f[j],f[j-cost]+weight);
}
void CompletePack(int cost,int weight)
{
	int j;
	for(j=cost;j<=V;j++)
		f[j]=max(f[j],f[j-cost]+weight);
}
void MultiplePack(int cost,int weight,int cnt)
{
	int k=1;
	if(cost*cnt>=V){  //总价值大于V时，等价于完全背包
		CompletePack(cost,weight);
		return;
	}
	while(k<cnt){  //否则，按二进制思想分解该物品
		ZeroOnePack(cost*k,weight*k);
		cnt-=k;
		k*=2;
	}
	ZeroOnePack(cost*cnt,weight*cnt);
}
int main()
{
	int i,n,sum;
	while(scanf("%d",&n),n>=0){
		sum=0;
		for(i=0;i<n;i++){
			scanf("%d%d",&c[i],&cnt[i]);
			sum+=c[i]*cnt[i];
		}
		V=sum/2;
		memset(f,0,sizeof(f));
		for(i=0;i<n;i++) MultiplePack(c[i],c[i],cnt[i]);//遍历每种物品
		printf("%d %d\n",max(f[V],sum-f[V]),min(f[V],sum-f[V]));
	}
	return 0;
}