约瑟夫问题(Josephus Problem)

背景
相传公元一世纪著名犹太历史学家约瑟夫在罗马人占领乔塔帕特後，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从，Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

约瑟夫问题描述
设有n个犯人坐成一个圈(编号1~n)，从第k(1<=k<=n)个人开始报数，数到m的人将被处决掉，接着从下一个人开始从新报数，数到m的人再被处决，如此循环，直至剩下一名犯人. 求处决犯人的顺序和最后的幸存者编号.
我们可以用代码模拟整个过程从而得出正确的答案:

模拟法
<!--<br /><br />Code highlighting produced by Actipro CodeHighlighter (freeware)<br />http://www.CodeHighlighter.com/<br /><br />-->1/**////<summary>
2///解约瑟夫问题
3///</summary>
4///<paramname="total">环节点总数</param>
5///<paramname="eliminate">每次排除数到eliminate的人</param>
6///<paramname="start">起始节点号</param>
7///<returns>最后剩下的节点号</returns>
8privatestaticintSolveJosephus(inttotal,inteliminate,intstart)
9{
10int[]killed=newint[total];
11intOrderNum=1;//序号
12intSuffix=(start-1)%total;//Suffix标记每次计数的开始点,做为killed的下标
13intCountNum=0;//killed数
14intSurvivor=0;
15
16Console.WriteLine("Thekillorderis:");
17
18while(CountNum<total-1)
19{
20if(((OrderNum%eliminate)|(killed[Suffix]))==0)
21{
22killed[Suffix]=1;//标记为已kill
23Console.Write("{0,-5:d}",Suffix+1);
24CountNum++;
25OrderNum++;
26}
27if(killed[Suffix]!=1)
28{
29OrderNum++;
30}
31Suffix++;
32Suffix%=total;
33}
34
35for(inti=0;i<total;i++)
36if(killed[i]==0)
37{
38Survivor=i;
39Console.WriteLine("\nSurvivor'snumber:{0}",i+1);
40}
41returnSurvivor;
42}

当然, 这并不是最好最高效的解法.这里我们回到广义的约瑟夫问题来分析一下:
如果有n个人围成一圈而坐，每个人的位置都带编号，编号从1到n（没有重复的），从第k个位置开始数数，当数到m时，那个人退出圈子，再从退出的那个人的下一个位置开始数（假定是顺时针数的），一直到剩下r个人。

进一步分析

n个人玩这个游戏的时候，假设最后剩下的r个人中，其中一个人占据了第p个位置，那当我们以n + 1个人开始玩游戏的时候，显然，这第n + 1个人希望被安排到第p + m个位置，因为如果第p个人是安全的，那么至少这第（p + m）MOD （n + 1）个位置上的人也是安全的，他的理由是“既然现在是n + 1个人玩，仍然只能留r个人，那么只要在n个人剩余的r个人里面有一个人在我之前退出就可以了，所以我要加在这第r个人中某个人的后面m处”。对应的，如果n个人玩的时候，第q个位置上的人退出了圈子，那n + 1个人玩的时候第（q + m）MOD （n + 1）个位置上的人也得退出圈子。根据前面的递推公式,显然我们可以通过逆推得到最终解,原先的约瑟夫函数可以写成如下形式:

代数法
<!--<br /><br />Code highlighting produced by Actipro CodeHighlighter (freeware)<br />http://www.CodeHighlighter.com/<br /><br />-->privatestaticintSolveJosephus2(inttotal,inteliminate,intstart)
{
intj,k=0;
int[]count=newint[total+1];
int[]s=newint[total+1];
for(inti=0;i<total+1;i++)
{
s[i]=i;
}
for(inti=total;i>1;i--)
{
start=(start+eliminate-1)%i;
if(start==0)
start=i;
count[k]=s[start];
k++;
for(j=start+1;j<=i;j++)
s[j-1]=s[j];
}
count[k]=s[1];

Console.WriteLine("Thekillorderis:");
for(inti=0;i<total-1;i++)
{
Console.Write("{0,-5:d}",count[i]);
}
Console.WriteLine("\nSurvivor'snumber:{0}",count[total-1]);
returncount[total-1];
}

推论
从上面的分析中已经知道，每次添加一个人到游戏中，原来剩余的那r个人的位置就会“后移”m个单位，因为新加的人使得ta之前的第m个人退出了圈子。所以我们可以进一步地作出这样的推论：

假设n个人玩游戏，最后一个幸存者（即r = 1时）占据了编号为p的位置，而在n + x个人玩的时候，最后一个幸存者占据第y个位置。那么y = （p + mx ）MOD (n + x)。
这样我们就可以根据不同的初值n迅速计算出最后一个人的位置了。

参考资料

1. W.W.Rouse Ball and H.S.M.Coxeter, Mathematical Recreations and Essays , Dover, 1987
2.Wikipedia,Josephus Problem,http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem

黄季冬
2009年8月4日