过河卒

过河卒<wbr></wbr>

“楚河-汉界”,将中国象棋的棋盘分成两大阵营;
棋盘上的棋子,最普通的莫过于“兵”和“卒”;
对他们来讲,过“河”难,过“河”后更难;
因为他们,只能前进,不可退后;
而每前行一步,付出的努力都比别人更多;
为此,他们的成功,更显魅力!!!
                  ———摘自戴习为《过河卒》

平凡而简单的人一个,无权无势也无牵无挂。
一路厮杀,只进不退,死而后已,岂不爽哉!
收起对“车”日行千里的羡慕;
收起对“马”左右逢缘的感叹;
目标记在心里面,向前进。
一次一步,一步一脚印,跬步千里
这个角色很适合现在的我。

特将空间更名为 <wbr></wbr>过河卒<wbr></wbr>以自勉。
<think>好的,我需要解决用户关于洛谷“过河”问题的疑问。首先,用户希望了解解题思路或算法实现。根据提供的引用内容,问题涉及动态规划,特别是递推关系。 首先,问题描述是过河从A(0,0)到B点,只能向右或向下走,同时避开马的控制点。马的位置和其跳跃可达的点是障碍。需要计算路径数量。 接下来,我需要整理引用中的信息。引用[3]提到棋盘和马的控制点,引用[4]指出状态转移方程是dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1],但要注意马的控制点。引用[1]和[2]提到递归方法效率低,动态规划是正解。 我需要考虑边界条件,比如起点被马控制时直接返回0。然后初始化dp数组,处理马的控制点,标记这些位置不可达。对于动态规划遍历,每个点如果没有被控制,就累加上面和左边的路径数。 另外,要注意数组越界的问题,比如当i或j为0时,只能从一个方向来。可能需要将坐标整体偏移,避免负数索引。例如,将起点设为(0,0),但实际处理时可能需要从1开始,这样i-1和j-1不会越界。 最后,代码实现部分需要处理输入,标记马的位置及其控制点,初始化dp数组,然后逐行计算。测试案例验证正确性,比如题目中的示例输入。 用户可能需要进一步的优化方法,比如空间压缩,或者处理大数时的溢出问题。但根据引用内容,当前方法已经足够解决题目。需要确保代码正确处理所有边界情况,比如马在边界时的控制点判断。</think>### 洛谷 P1002 过河 解题思路与算法实现 #### 问题描述 棋盘上,从 $A(0,0)$ 走到 $B(n,m)$,只能向右或向下移动。棋盘上有一个敌方马,其位置为 $(x,y)$,马的控制点包括自身位置和一步可达的8个点。求所有合法路径的数量(需避开马的控制点)[^3]。 --- #### 算法思路 1. **动态规划(DP)** 使用二维数组 $dp[i][j]$ 表示从起点到点 $(i,j)$ 的路径总数,状态转移方程为: $$dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]$$ 需排除马的控制点[^4]。 2. **边界条件** - 若起点 $A(0,0)$ 或终点 $B(n,m)$ 被马控制,直接输出0。 - 初始化第一行和第一列时,若路径被马控制点阻断,后续点均不可达。 3. **标记马的控制点** 通过预计算标记所有马的控制点,遍历时跳过这些点。 --- #### 代码实现(Python) ```python def count_paths(n, m, horse_x, horse_y): # 标记马的控制点 blocked = set() directions = [(-1, -2), (-2, -1), (-1, 2), (-2, 1), (1, -2), (2, -1), (1, 2), (2, 1), (0, 0)] for dx, dy in directions: x = horse_x + dx y = horse_y + dy if 0 <= x <= n and 0 <= y <= m: blocked.add((x, y)) # 初始化DP数组 dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)] dp[0][0] = 0 if (0, 0) in blocked else 1 # 动态规划遍历 for i in range(n + 1): for j in range(m + 1): if (i, j) in blocked: continue if i == 0 and j == 0: continue top = dp[i-1][j] if i > 0 else 0 left = dp[i][j-1] if j > 0 else 0 dp[i][j] = top + left return dp[n][m] # 示例输入:B(6,6),马在(3,3) print(count_paths(6, 6, 3, 3)) # 输出应为6 ``` --- #### 关键点说明 1. **坐标偏移处理** 实际代码中可将棋盘坐标整体偏移,避免负数索引(如将起点设为 $(1,1)$)。 2. **空间优化** 可将二维DP数组压缩为一维数组,仅保留当前行状态,降低空间复杂度至 $O(m)$。 3. **大数问题** 路径数可能极大,需根据题目要求使用高精度计算或取模操作。 ---
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