FZU 2020 组合 lucas定理

最新推荐文章于 2018-09-13 16:10:41 发布

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本文介绍了一种解决大数组合数模运算问题的方法，利用Lucas定理和快速幂技巧，有效地计算了C(n,m)modp的结果，适用于n和m较大时的情况。

Problem 2020 组合

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Problem Description

给出组合数C(n,m), 表示从n个元素中选出m个元素的方案数。例如C(5,2) = 10, C(4,2) = 6.可是当n,m比较大的时候，C(n,m)很大！于是xiaobo希望你输出 C(n,m) mod p的值！

Input

输入数据第一行是一个正整数T,表示数据组数 (T <= 100) 接下来是T组数据，每组数据有3个正整数 n, m, p (1 <= m <= n <= 10^9, m <= 10^4, m < p < 10^9, p是素数)

Output

对于每组数据，输出一个正整数，表示C(n,m) mod p的结果。

Sample Input

2 5 2 3 5 2 61

Sample Output

1 10

Source

FOJ有奖月赛-2011年04月（校赛热身赛）

这个题非常裸露，直接问我们组合数去模

于是应该果断想到lucas定理。

这里注意到，对于一个质数p，i对p的逆元可以不用扩展欧几里得进行求解

可以有公式：re=i^(p-2)得到

我的代码：

#include<stdio.h> __int64 power(__int64 a,__int64 b,__int64 n) { __int64 res=1; for(;b;b>>=1,a=a*a%n) if(b&1) res=res*a%n; return res; } __int64 cal(__int64 n,__int64 r,__int64 p) { __int64 i,res=1,re; for(i=1;i<=r;i++) { res=res*(n-i+1)%p; re=power(i,p-2,p); res=res*re%p; } return res; } __int64 lucas(__int64 n,__int64 m,__int64 p) { if(n<m) return 0; else return cal(n,m,p); } int main() { __int64 n,m,p,res; int t; scanf("%d",&t); while(t--) { scanf("%I64d%I64d%I64d",&n,&m,&p); res=1; while(n&&m) { res=res*lucas(n%p,m%p,p); if(res==0) break; n=n/p; m=m/p; } printf("%I64d\n",res); } return 0; }