【计算机图形学】2-2 圆的绘制

2. 圆

　　对于一个圆，这里给出的圆的中点坐标和圆的半径，同样有三种常用方法。最终使用的依旧是Bresenham法。

（1）直角坐标法

　　根据圆的方程(x– x0) ^ 2 + (y – y0) ^ 2 = r ^2，当一个坐标确定时，另外一个坐标也可以计算出来。为了画出一个完整的圆，因为圆本身具有完美的对称特性，我们画八个r/ sqrt(2)宽度的弧，组成一个圆。之所以选取r/ sqrt(2)是因为这点切线斜率为1，这样画出的圆不会间断。

基本代码：

void draw_circle_Coordinate_3i(int32 x, int32 y, int32 r)
{
　　int32 i, t, rr = (int32)ceil(r / sqrt(2.0));
　　for(i=0;i<=rr;++i)
　　{
　　　　t = (int32)sqrt(r * r - i * i);
　　　　draw_point_2i(x + i, y + t);
　　　　draw_point_2i(x + i, y - t);
　　　　draw_point_2i(x + t, y + i);
　　　　draw_point_2i(x - t, y + i);
　　　　draw_point_2i(x - i, y + t);
　　　　draw_point_2i(x - i, y - t);
　　　　draw_point_2i(x + t, y - i);
　　　　draw_point_2i(x - t, y - i);
　　}
}

（2）中点画圆法

　　中点画圆法的基本思想不变，只不过增量的变化要根据圆的公式更改。定义F(x,y) = x ^ 2 + y ^ 2 – r ^ 2，F(x,y) > 0说明点在圆外，F(x,y) < 0说明点在圆内。定义增量D(x,y) = F(x, y) – F(x0, y0)，我们考虑圆上方顶点向右绘制的过程，则

　　D(x+1,y-0.5) = (x+1)^2 + (y–0.5)^2 – x^2 – y^2 = 2x - y + 1.25

　　D(x+1,y) = (x+1)^2 – x^2 = 2x + 1

　　D(x+1,y-1) = (x+1)^2 + (y–1)^2 – x^2 – y^2 = 2x – 2y + 2

　　为了避免浮点数运算，所有D乘以4，则

　　D(x+1,y-0.5) = 8x - 4y + 5

　　D(x+1,y) = 8x + 4

　　D(x+1,y-1) = 8x – 8y + 8

　　同样利用圆的对称性即可画出完整的圆。

基本代码：

void draw_circle_MidPoint_3i(int32 x, int32 y, int32 r)
{
　　int32 d, i, j;
　　int32 rr = (int32)ceil(r / sqrt(2.0));
　　j = r;
　　d = - (j<<2) + 5;
　　for(i=0;i<=rr;++i)
　　{
　　　　draw_point_2i(x + i, y + j);
　　　　draw_point_2i(x + i, y - j);
　　　　draw_point_2i(x + j, y + i);
　　　　draw_point_2i(x - j, y + i);
　　　　draw_point_2i(x - i, y + j);
　　　　draw_point_2i(x - i, y - j);
　　　　draw_point_2i(x + j, y - i);
　　　　draw_point_2i(x - j, y - i);
　　　　if(d > 0)
　　　　{
　　　　　　d -= (i << 3) + 4;
　　　　}
　　　　else
　　　　{
　　　　　　-- j;
　　　　　　d -= (i - j + 1) << 3;
　　　　}
　　}
}

（3）Bresenham法

　　Bresenham法本质依然与直线相同，交点与整点的距离e(x,y) = 2(x+1)^2 + y^2 + (y-1)^2 – 2r^2，带入初值的e(0,r) = 3 – 2r，选择上方点，e(x+1,y) – e(x, y) = 2(x+2)^2 – 2(x+1)^2 = 4x + 6，选择下方点，e(x+1,y+1) – e(x, y) = 4x + 6 + y^2 + (y-1)^2 – (y+1)^2 – y^2 = 4x –4y + 10。

　　注：给出代码的计算量和中点画圆法相同。

基本代码：

void draw_circle_Bresenham_3i(int32 x, int32 y, int32 r)
{
　int32 e;
　int32 i, j;
　int32 rr = (int32)ceil(r / sqrt(2.0));
　j = r;
　e = 3 - (r << 1);
　for(i=0;i<=rr;++i)
　{
　　draw_point_2i(x + i, y + j);
　　draw_point_2i(x + i, y - j);
　　draw_point_2i(x + j, y + i);
　　draw_point_2i(x - j, y + i);
　　draw_point_2i(x - i, y + j);
　　draw_point_2i(x - i, y - j);
　　draw_point_2i(x + j, y - i);
　　draw_point_2i(x - j, y - i);
　　if(e < 0)
　　{
　　　e += (i << 2) + 6;
　　}
　　else
　　{
　　　e += ((i - j)<<2) + 10;
　　　-- j;
　　}
　}
}