RMQ_ST在线

//查找区间内,最大值与最小值
//RMQ在线--Sparse_Table

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define max(a,b) a>b?a:b
#define min(a,b) a>b?b:a
const int N=100002;
int RMQ_max[N][20],RMQ_min[N][20],c[N]={0};
double Limit;

void Init(int n)
{
    int temp,i,j;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&temp);
        RMQ_max[i][0]=RMQ_min[i][0]=temp;
    }
    for(i=1;i<=Limit;i++)
        for(j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++)
        {
            RMQ_max[j][i]=max(RMQ_max[j][i-1],RMQ_max[j+(1<<(i-1))][i-1]) ;
            RMQ_min[j][i]=min(RMQ_min[j][i-1],RMQ_min[j+(1<<(i-1))][i-1]) ;
        }
}

void RMQ_Find(int x)
{
    int pos1,pos2;
    while(x--)
    {
        scanf("%d%d",&pos1,&pos2);
        int s=(int)(log(pos2-pos1+1)/log(2.0));
        int Max=max(RMQ_max[pos1][s],RMQ_max[pos2-(1<<s)+1][s]);
        int Min=min(RMQ_min[pos1][s],RMQ_min[pos2-(1<<s)+1][s]);
        printf("%d\n",Max-Min);
    }
}

int main()
{
    int n,x;
    scanf("%d%d",&n,&x);
    Limit=log(n)/log(2.0);
    Init(n);
    RMQ_Find(x);
    return 0;
}        

### ST 表与 RMQ 问题 ST 表(Sparse Table)是一种用于解决静态数组上的区间最值查询(Range Minimum/Maximum Query, RMQ)的数据结构。它通过预处理的方式,在 $O(n \log n)$ 的时间复杂度下完成初始化,并支持在 $O(1)$ 时间内回答任意区间的最小值或最大值。 #### 预处理阶段 为了构建 Sparse Table,我们需要预先计算出对于每一个起点位置 `i` 和每种长度为 $2^j$ 的子区间内的最小值或最大值。具体来说: $$ f[i][j] = \min(f[i][j-1], f[i + 2^{j-1}][j-1]) $$ 或者 $$ f[i][j] = \max(f[i][j-1], f[i + 2^{j-1}][j-1]) $$ 其中,`f[i][j]` 表示从第 `i` 个元素开始的连续 $2^j$ 个数中的最小值或者最大值[^1]。 此过程可以通过动态规划来实现,其伪代码如下所示: ```python def preprocess_sparse_table(array): n = len(array) logn = int(math.log2(n)) + 1 st = [[0]*logn for _ in range(n)] # Initialize the base case (intervals of length 1). for i in range(n): st[i][0] = array[i] # Build sparse table. for j in range(1, logn): for i in range(n - (1 << j) + 1): st[i][j] = min(st[i][j-1], st[i + (1 << (j-1))][j-1]) return st ``` #### 查询阶段 一旦完成了上述预处理工作,则可以快速响应任何范围 `[L,R]` 上的最大值或最小值请求。我们只需要找到满足条件的最大整数 k ,使得 $2^k ≤ R-L+1$, 并比较两个重叠部分即可得出最终结果: $$ result = \min(\text{st}[L][k],\text{st}[R-(2^k)+1][k]) $$ 对于最大值情况则相应替换 $\min()$ 函数为 $\max()$. 下面是基于之前准备好的稀疏表执行实际查询的一个例子: ```python import math def query_min(L, R, st, n): k = int(math.log2(R - L + 1)) return min(st[L][k], st[R - (1 << k) + 1][k]) # Example Usage: array = [4,7,9,7,8,3,2] st = preprocess_sparse_table(array) print(query_min(1, 5, st, len(array))) # Output should be minimum value between index 1 to 5 inclusive. ``` 这种技术非常适合那些数据不会改变的应用场景之中,因为它不提供修改操作的支持;但是当面对只读型大数据集时,它的效率是非常高的。
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