从B 树、B+ 树、B* 树谈到R 树-优快云博客

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从 B 树、 B+ 树、B* 树谈到 R 树

作者： July 、weedge、 Frankie 。编程艺术室出品。

说明：本文从 B 树开始谈起，然后论述 B+树、B* 树，最后谈到 R 树。其中 B 树、 B+ 树及B*树部分由weedge完成， R 树部分由 Frabkie 完成，全文最终由 July 统稿完成。

出处：http://blog.youkuaiyun.com/v_JULY_v 。

第一节、 B 树、 B+ 树、B*树

1. 前言：

动态查找树主要有：二叉查找树（ Binary Search Tree ），平衡二叉查找树（ Balanced Binary Search Tree ），红黑树 (Red-Black Tree ) ， B-tree/B⁺ -tree/ B^* -tree (B~Tree) 。前三者是典型的二叉查找树结构，其查找的时间复杂度 $O$ $(log 2 N)$ 与树的深度相关，那么降低树的深度自然会提高查找效率。

但是咱们有面对这样一个实际问题：就是大规模数据存储中，实现索引查询这样一个实际背景下，树节点存储的元素数量是有限的（如果元素数量非常多的话，查找就退化成节点内部的线性查找了），这样导致二叉查找树结构由于树的深度过大而造成磁盘 I/O 读写过于频繁，进而导致查询效率低下（为什么会出现这种情况，待会在外部存储器 - 磁盘中有所解释），那么如何减少树的深度（当然是不能减少查询的数据量），一个基本的想法就是：采用多叉树结构（由于树节点元素数量是有限的，自然该节点的子树数量也就是有限的）。

这样我们就提出了一个新的查找树结构——多路查找树。根据平衡二叉树的启发，自然就想到平衡多路查找树结构，也就是这篇文章所要阐述的第一个主题 B~tree(B 树结构 )。

B-tree（B-tree树即B树） 这棵神奇的树是在 Rudolf Bayer ,Edward M. McCreight (1970) 写的一篇论文《 Organization and Maintenance of Large Ordered Indices 》中首次提出的（ wikipedia 中： http://en.wikipedia.org/wiki/B-tree ，阐述了 B-tree 名字来源以及相关的开源地址）。

在开始介绍 B~tree 之前，先了解下相关的硬件知识，才能很好的了解为什么需要 B~tree 这种外存数据结构。

2. 外存储器 — 磁盘

计算机存储设备一般分为两种：内存储器 (main memory) 和外存储器 (external memory) 。内存存取速度快，但容量小，价格昂贵，而且不能长期保存数据 ( 在不通电情况下数据会消失 ) 。

外存储器—磁盘是一种直接存取的存储设备 (DASD) 。它是以存取时间变化不大为特征的。可以直接存取任何字符组，且容量大、速度较其它外存设备更快。

2.1 磁盘的构造

磁盘时一个扁平的圆盘 ( 与电唱机的唱片类似 ) 。盘面上有许多称为磁道的圆圈，数据就记录在这些磁道上。磁盘可以是单片的，也可以是由若干盘片组成的盘组，每一盘片上有两个面。如下图11.3中所示的 6 片盘组为例，除去最顶端和最底端的外侧面不存储数据之外，一共有 10 个面可以用来保存信息。

当磁盘驱动器执行读 / 写功能时。盘片装在一个主轴上，并绕主轴高速旋转，当磁道在读 / 写头 ( 又叫磁头 ) 下通过时，就可以进行数据的读 / 写了。

一般磁盘分为固定头盘 ( 磁头固定 ) 和活动头盘。固定头盘的每一个磁道上都有独立的磁头，它是固定不动的，专门负责这一磁道上数据的读 / 写。

活动头盘 ( 如上图 ) 的磁头是可移动的。每一个盘面上只有一个磁头 ( 磁头是双向的，因此正反盘面都能读写 ) 。它可以从该面的一个磁道移动到另一个磁道。所有磁头都装在同一个动臂上，因此不同盘面上的所有磁头都是同时移动的 ( 行动整齐划一 ) 。当盘片绕主轴旋转的时候，磁头与旋转的盘片形成一个圆柱体。各个盘面上半径相同的磁道组成了一个圆柱面，我们称为柱面。因此，柱面的个数也就是盘面上的磁道数。

2.2 磁盘的读 / 写原理和效率

磁盘上数据必须用一个三维地址唯一标示：柱面号、盘面号、块号 ( 磁道上的盘块 ) 。

读 / 写磁盘上某一指定数据需要下面 3 个步骤：

(1) 首先移动臂根据柱面号使磁头移动到所需要的柱面上，这一过程被称为定位或查找。

(2) 如上图11.3中所示的 6 盘组示意图中，所有磁头都定位到了 10 个盘面的 10 条磁道上 ( 磁头都是双向的 ) 。这时根据盘面号来确定指定盘面上的磁道。

(3) 盘面确定以后，盘片开始旋转，将指定块号的磁道段移动至磁头下。

经过上面三个步骤，指定数据的存储位置就被找到。这时就可以开始读 / 写操作了。

访问某一具体信息，由 3 部分时间组成：

● 查找时间 (seek time) Ts: 完成上述步骤 (1) 所需要的时间。这部分时间代价最高，最大可达到 0.1s 左右。

● 等待时间 (latency time) Tl: 完成上述步骤 (3) 所需要的时间。由于盘片绕主轴旋转速度很快，一般为 7200 转 / 分 ( 电脑硬盘的性能指标之一 , 家用的普通硬盘的转速一般有 5400rpm( 笔记本 ) 、 7200rpm 几种 ) 。因此一般旋转一圈大约 0.0083s 。

● 传输时间 (transmission time) Tt: 数据通过系统总线传送到内存的时间，一般传输一个字节 (byte) 大概 0.02us=2*10^(-8)s

磁盘读取数据是以盘块 (block) 为基本单位的。位于同一盘块中的所有数据都能被一次性全部读取出来。而磁盘 IO 代价主要花费在查找时间 Ts 上。因此我们应该尽量将相关信息存放在同一盘块，同一磁道中。或者至少放在同一柱面或相邻柱面上，以求在读 / 写信息时尽量减少磁头来回移动的次数，避免过多的查找时间 Ts 。

所以，在大规模数据存储方面，大量数据存储在外存磁盘中，而在外存磁盘中读取 / 写入块 (block) 中某数据时，首先需要定位到磁盘中的某块，如何有效地查找磁盘中的数据，需要一种合理高效的外存数据结构，就是下面所要重点阐述的 B-tree 结构，以及相关的变种结构： B⁺ -tree 结构和 B^* -tree 结构。

3. B- 树

具体讲解之前，有一点，再次强调下：B-树，即为B树。因为B树的原英文名称为B-tree，而国内很多人喜欢把B-tree译作B-树，其实，这是个非常不好的直译，很容易让人产生误解。如人们可能会以为B-树是一种树，而B树又是一种一种树。而事实上是，B-tree就是指的B树 。特此说明。

我们知道，B 树是为了磁盘或其它存储设备而设计的一种多叉（下面你会看到，相对于二叉，B树每个内结点有多个分支，即多叉）平衡查找树。与本blog之前介绍的红黑树很相似，但在降低磁盘I/0操作方面要更好一些。许多数据库系统都一般使用B树或者B树的各种变形结构，如下文即将要介绍的B+树，B*树来存储信息。

B 树与红黑树最大的不同在于，B树的结点可以有许多子女，从几个到几千个。那为什么又说B树与红黑树很相似呢?因为与红黑树一样，一棵含n个结点的B树的高度也为O（lgn），但可能比一棵红黑树的高度小许多，应为它的分支因子比较大。所以，B树可以在O（logn）时间内，实现各种如插入（insert），删除（delete）等动态集合操作。

如下图所示，即是一棵B树，一棵关键字为英语中辅音字母的B树，现在要从树种查找字母R（包含n[x]个关键字的内结点x，x有n[x]+1]个子女（也就是说，一个内结点x若含有n[x]个关键字，那么x将含有n[x]+1个子女）。所有的叶结点都处于相同的深度，带阴影的结点为查找字母R时要检查的结点）：

相信，从上图你能轻易的看到，一个内结点x若含有n[x]个关键字，那么x将含有n[x]+1个子女。如含有2个关键字D H 的内结点有3个子女，而含有3个关键字Q T X 有4个子女。

B 树又叫平衡多路查找树。一棵 m 阶的 B 树 (m 叉树 ) 的特性如下：

树中每个结点最多含有m个孩子（m>=2）；
除根结点和叶子结点外，其它每个结点至少有[ceil(m / 2)]个孩子（其中ceil(x)是一个取上限的函数）；
若根结点不是叶子结点，则至少有2个孩子（特殊情况：没有孩子的根结点，即根结点为叶子结点，整棵树只有一个根节点）；
所有叶子结点都出现在同一层，叶子结点不包含任何关键字信息(可以看做是外部接点或查询失败的接点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针都为null)；
每个非终端结点中包含有n个关键字信息： (n，P0，K1，P1，K2，P2，......，Kn，Pn)。其中：
a) Ki (i=1...n)为关键字，且关键字按顺序升序排序K(i-1)< Ki。
b) Pi为指向子树根的接点，且指针P(i-1)指向子树种所有结点的关键字均小于Ki，但都大于K(i-1)。
c) 关键字的个数n必须满足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1。

针对上面第5点，再阐述下：B树中每一个结点能包含的关键字（如之前上面的D H 和Q T X ）数有一个上界和下界。这两个界可以用一个称作B树的最小度数t（t>=2）表示。

每个非根的结点必须至少含有m-1个关键字。每个非根的内结点至少有m个子女。如果树是非空的，则根结点至少包含一个关键字；
每个结点可包含之多2m-1个关键字。所以一个内结点之多可有2m个子女。如果一个结点恰好有2t-1个关键字，我们就说这个结点是满的（而稍后介绍的B*树作为B树的一种常用变形，B*树中要求每个内结点至少为2/3满，而不是像这里的B树所要求的至少半满）；
当关键字数m=2（m=2的意思是，m min =2，m可以>=2）时的B树是最简单的（有很多人会因此误认为B树就是二叉查找树，但二叉查找树就是二叉查找树，B树就是B树，B树的真正最准确的定义为：一棵含有m（m>=2）个关键字的平衡多路查找树）。每个内结点可能因此而含有2个、3个或4个子女，亦即一棵2-3-4树，然而在实际中，通常采用大得多的t值。

B 树中的每个结点根据实际情况可以包含大量的关键字信息和分支(当然是不能超过磁盘块的大小，根据磁盘驱动(disk drives)的不同，一般块的大小在1k~4k左右)；这样树的深度降低了，这就意味着查找一个元素只要很少结点从外存磁盘中读入内存，很快访问到要查找的数据。

为了简单，这里用少量数据构造一棵 3 叉树的形式，实际应用中的 B 树结点中关键字很多的。上面的图中比如根结点，其中 17 表示一个磁盘文件的文件名；小红方块表示这个 17 文件的内容在硬盘中的存储位置； p1 表示指向 17 左子树的指针。

其结构可以简单定义为：

typedef struct {

/* 文件数*/

int file_num;

/* 文件名(key)*/

char * file_name[max_file_num];

/* 指向子节点的指针*/

BTNode * BTptr[max_file_num+1];

/* 文件在硬盘中的存储位置*/

FILE_HARD_ADDR offset[max_file_num];

}BTNode;

假如每个盘块可以正好存放一个 B 树的结点（正好存放 2 个文件名）。那么一个 BTNode 结点就代表一个盘块，而子树指针就是存放另外一个盘块的地址。

下面，咱们来模拟下查找文件 29 的过程：

(1) 根据根结点指针找到文件目录的根磁盘块 1 ，将其中的信息导入内存。【磁盘 IO 操作 1 次】

(2) 此时内存中有两个文件名 17 ， 35 和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现 17<29<35 ，因此我们找到指针 p2 。

(3) 根据 p2 指针，我们定位到磁盘块 3 ，并将其中的信息导入内存。【磁盘 IO 操作 2 次】

(4) 此时内存中有两个文件名 26 ， 30 和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现 26<29<30 ，因此我们找到指针 p2 。

(5) 根据 p2 指针，我们定位到磁盘块 8 ，并将其中的信息导入内存。【磁盘 IO 操作 3 次】

(6) 此时内存中有两个文件名 28 ， 29 。根据算法我们查找到文件 29 ，并定位了该文件内存的磁盘地址。

分析上面的过程，发现需要 3 次磁盘 IO 操作和 3 次内存查找操作。关于内存中的文件名查找，由于是一个有序表结构，可以利用折半查找提高效率。至于 3 次磁盘 IO 操作时影响整个 B 树查找效率的决定因素。

当然，如果我们使用平衡二叉树的磁盘存储结构来进行查找，磁盘 IO 操作最少 4 次，最多 5 次。而且文件越多， B 树比平衡二叉树所用的磁盘 IO 操作次数将越少，效率也越高。

4. B⁺ -tree

B⁺ -tree ：是应文件系统所需而产生的一种 B-tree 的变形树。

一棵 m 阶的 B+ 树和 m 阶的 B 树的差异在于：

1. 有 n 棵子树的结点中含有 n 个关键字； (而B 树是 n 棵子树有 n+1 个关键字 )

2. 所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含有这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大的顺序链接。 (而B 树的叶子节点并没有包括全部需要查找的信息 )

3. 所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树根结点中最大（或最小）关键字。 (而B 树的非终节点也包含需要查找的有效信息 )

a) 为什么说 B⁺ -tree 比 B 树更适合实际应用中操作系统的文件索引和数据库索引？

1) B⁺ -tree 的磁盘读写代价更低

B⁺ -tree 的内部结点并没有指向关键字具体信息的指针。因此其内部结点相对 B 树更小。如果把所有同一内部结点的关键字存放在同一盘块中，那么盘块所能容纳的关键字数量也越多。一次性读入内存中的需要查找的关键字也就越多。相对来说 IO 读写次数也就降低了。

举个例子，假设磁盘中的一个盘块容纳 16bytes ，而一个关键字 2bytes ，一个关键字具体信息指针 2bytes 。一棵 9 阶 B-tree ( 一个结点最多 8 个关键字 ) 的内部结点需要 2 个盘快。而 B⁺ 树内部结点只需要 1 个盘快。当需要把内部结点读入内存中的时候， B 树就比 B⁺ 树多一次盘块查找时间 ( 在磁盘中就是盘片旋转的时间 ) 。

2) B⁺ -tree 的查询效率更加稳定

由于非终结点并不是最终指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引。所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当。

b) B⁺ -tree 的应用: VSAM( 虚拟存储存取法 ) 文件 ( 来源论文 the ubiquitous Btree 作者： D COMER - 1979 )

5. B^* -tree

B*-tree 是 B⁺ -tree 的变体，在 B⁺ 树非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针； B* 树定义了非叶子结点关键字个数至少为 (2/3)*M ，即块的最低使用率为 2/3 （代替 B+ 树的 1/2 ）。给出了一个简单实例，如下图所示：

B+ 树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中 1/2 的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针； B+ 树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针。

B* 树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制 1/3 的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针。

所以， B* 树分配新结点的概率比 B+ 树要低，空间使用率更高；

6. 总结

在大规模数据存储的文件系统中， B~tree 系列数据结构，起着很重要的作用，对于存储不同的数据，节点相关的信息也是有所不同，这里根据自己的理解，画的一个查找以职工号为关键字，职工号为 38 的记录的简单示意图。 ( 这里假设每个物理块容纳 3 个索引，磁盘的 I/O 操作的基本单位是块（ block), 磁盘访问很费时，采用 B+ 树有效的减少了访问磁盘的次数。）

对于像 MySQL ， DB2 ， Oracle 等数据库中的索引结构得有较深入的了解才行，建议去找一些B 树相关的开源代码研究。

走进搜索引擎的作者梁斌老师针对B 树、B+ 树给出了他的意见（为了真实性，特引用其原话，未作任何改动）： “ B+ 树还有一个最大的好处，方便扫库，B 树必须用中序遍历的方法按序扫库，而B+ 树直接从叶子结点挨个扫一遍就完了，B+ 树支持range-query 非常方便，而B 树不支持。这是数据库选用B+ 树的最主要原因。

比如要查 5-10 之间的，B+ 树一把到5 这个标记，再一把到10 ，然后串起来就行了，B 树就非常麻烦。B 树的好处，就是成功查询特别有利，因为树的高度总体要比B+ 树矮。不成功的情况下，B 树也比B+ 树稍稍占一点点便宜。

B 树比如你的例子中查，17 的话，一把就得到结果了，
有很多基于频率的搜索是选用B 树，越频繁query 的结点越往根上走，前提是需要对query 做统计，而且要对key 做一些变化。

另外B 树也好B+ 树也好，根或者上面几层因为被反复query ，所以这几块基本都在内存中，不会出现读磁盘IO ，一般已启动的时候，就会主动换入内存。”非常感谢。

第二节、 R 树：处理空间存储问题

相信经过上面第一节的介绍，你已经对 B 树或者 B+ 树有所了解。这种树可以非常好的处理一维空间存储的问题。 B 树是一棵平衡树，它是把一维直线分为若干段线段，当我们查找满足某个要求的点的时候，只要去查找它所属的线段即可。依我看来，这种思想其实就是先找一个大的空间，再逐步缩小所要查找的空间，最终在一个自己设定的最小不可分空间内找出满足要求的解。一个典型的 B 树查找如下：

要查找某一满足条件的点，先去找到满足条件的线段，然后遍历所在线段上的点，即可找到答案。

B 树是一种相对来说比较复杂的数据结构，尤其是在它的删除与插入操作过程中，因为它涉及到了叶子结点的分解与合并。由于本文第一节已经详细介绍了 B 树即 B+ 树，下面直接开始介绍我们的第二个主角： R 树。

简介

1984 年，加州大学伯克利分校的 Guttman 发表了一篇题为 “R-trees: a dynamic index structure for spatial searching” 的论文，向世人介绍了 R 树这种处理高维空间存储问题的数据结构。本文便是基于这篇论文写作完成的，因此如果大家对 R 树非常有兴趣，我想最好还是参考一下原著吧：）。为表示对这位牛人的尊重，给个引用先：

Guttman, A.; “R-trees: a dynamic index structure for spatial searching,” ACM, 1984 , 14

R树在数据库等领域做出的功绩是非常显著的。它很好的解决了在高维空间搜索等问题