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周五出发去武汉，华中区程序设计大赛，虽然是作为机动名额去的，但是也要加油！！！争取拿牌，加油！！！整理一下以前的资料【以前写在百度空间的】

Prufer编码——构造方法如下：从树中去掉编号值最小的叶子节点（仅与一条边邻接的节点），以及与它邻接的边后，记下与它邻接的节点的编号。在树中重复这个过程，直到只剩下一个节点（总是编号为n的节点）为止。记下的n-1个编号序列就是树的Prufer编码。

cayley公式：一个完全图K_n有n^(n-2)棵生成树，换句话说n个节点的带标号的无根树有n^(n-2)个。

证明过程：对于任意一棵树，肯定有一个prufer编码and任何一个Prüfer编码都唯一地对应了一棵无根树。对于n阶的树，一共有n-1条边，可以建成长度为n-2的序列（无根树，节点数n>2的树才存在叶子节点，最后一个节点是可以确定的），而这种序列有n^n-2中取法，所以，公式成立。

二者的联系：任何一个Prufer编码都唯一地对应了一棵无根树

证明过程：

如果一个节点A不是叶子节点，那么它至少有两条边；当整个图只剩下一条边，节点A的至少一个相邻节点被去掉过，节点A的编号将会在这棵树对应的Prüfer编码中出现。反过来，在Prufer编码中出现过的数字显然不可能是这棵树（初始时）的叶子。即没有在Prüfer编码中出现过的数字恰好就是这棵树（初始时）的叶子节点。找出没有出现过的数字中最小的那一个a1，它就是与Prüfer编码中第一个数所标识的节点相邻的叶子。接下来，递归地考虑后面n-3位编码（别忘了编码总长是n-2）：找出除a1以外不在后n-3位编码中的最小的数将它连接到整个编码的第2个数所对应的节点上。。。。。。最后两个没处理过的节点，连在一起（其中一个点一定出现过 已经确定了序列）。由于没处理过的节点数总比剩下的编码长度大2，因此我们总能找到一个最小的没在剩余编码中出现的数，算法总能进行下去。这样，任何一个Prüfer编码都唯一地对应了一棵无根树，有多少个n-2位的Prufer编码就有多少个带标号的无根树。

一个有趣的推广：n个节点的度依次为D1, D2, …, Dn的无根树共有(n-2)! / [ (D1-1)!(D2-1)!..(Dn-1)! ]个

证明过程：节点的度数为Di，Prufer编码中的数字i恰好出现Di-1次。