Exercise 1.41 ~ 1.44-优快云博客

本文探讨了如何通过定义函数来实现对数值的重复操作、组合应用及递归调用，涉及函数的二次操作、复合函数创建、重复应用以及平滑函数的方法。详细解释了如何利用已定义的函数进行数值的加一、平方等基本运算，并进一步展示了如何通过函数的复合与重复应用来实现更复杂的数学操作。

1.41

定义一个 double 操作，用来将某个特定的操作重复两次。

例如我们有一个inc的操作会将某个数值加1，那么（double inc)则会将数值加二。

最终需要计算这个值：

写道

(((double (double double)) inc) 5)

下面是实现：

(defun db (f)
  (lambda (x)
    (funcall f (funcall f x))
    )
  )
(format t "~a~%" (funcall (funcall (db (db #'db))
                                   #'(lambda (x) (+ x 1)))
                          5))

在我这里，运行的结果是21.

1.42

编写一个 compose 方法，它接收两个方法f、g，然后返回一个新的方法，这个方法对参数x，返回值 f(g(x)).

实现的方法比较简单，只需要依次调用两个方法就可以了。

(defun inc (x) (+ x 1))
(defun squar (x) (* x x))
(defun compose (f g)
  (lambda (x)
    (funcall f (funcall g x))))
(format t "~a~%" (funcall (compose #'squar #'inc) 6))

1.43

在平时的使用场景中，我们经常需要将一个函数的返回值，做为它自身的输入。比如，对函数f(x), 经常需要求值： f(f(...f(x)...)). 所以应该可以写一个方法repeated，他接受两个参数，一个函数f和一个计数n，返回的方法对给定的参数x，会执行n次函数f。了解这些啰嗦的描述后，写起来倒是很简单。这里正好用到了1.42的compose函数。让f=g，compose方法相当于将函数f repeat了两次。

#1.43
(defun repeated (f count)
  (if (< count 2)
      (lambda (x) (funcall f x))
    (compose f (repeated f (- count 1)))
)
  )
(format t "~a~%" (funcall (repeated  #'squar 2) 5))

1.44

为了需要smoothing一个函数，对于x，需要求值(f(x) + f(x-dx) + f(x+dx))/3.我们需要编写一个方法，他的参数是一个函数，返回值是smoothing之后的函数。

(defun smooth (f)
  (let ((dx 1.0))
    (lambda (x)
      (/ (+ (funcall f (- x dx))
            (funcall f x)
            (funcall f (+ x dx)))
            3.0)))
)
(format t "~a~%" (funcall (smooth #'squar) 5))

如果你想对某个函数smoothing n次，就可以使用前面的repeat方法了：

(defun nth-smooth (f n)
  (lambda (x)
    (funcall (funcall (repeated #'smooth n) f) x)
    )
)
(format t "~a~%" (funcall (nth-smooth #'squar 2) 5))

因为我们重复的时“smooth”这个操作，所以首先对smooth方法执行 repeated操作n次，然后将f传值给前面返回的方法，就得到了我们想要的nth-smooth方法了。

这里跟前面两个题目不同的一点是，前面repeated之后的得到的方法，会返回一个值；这里repeated之后返回的方法，返回值仍然是一个方法。