10.3例题：最长上升子序列

问题定义：

一个数的序列bi，当b1 < b2 < ... < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, ..., aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK)，这里1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。


这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).


你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。


输入数据


输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。


输出要求


最长上升子序列的长度。


输入样例


7


1 7 3 5 9 4 8


输出样例


4


解题思路


如何把这个问题分解成子问题呢？经过分析，发现“求以ak（k=1, 2, 3…N）为终点的最长上升子序列的长度”是个好的子问题――这里把一个上升子序列中最右边的那个数，称为该子序列的“终点”。虽然这个子问题和原问题形式上并不完全一样，但是只要这N个子问题都解决了，那么这N个子问题的解中，最大的那个就是整个问题的解。


由上所述的子问题只和一个变量相关，就是数字的位置。因此序列中数的位置k 就是“状态”，而状态 k 对应的“值”，就是以ak做为“终点”的最长上升子序列的长度。这个问题的状态一共有N个。状态定义出来后，转移方程就不难想了。假定MaxLen (k)表示以ak做为“终点”的最长上升子序列的长度，那么：


MaxLen (1) = 1
MaxLen (k) = Max { MaxLen (i)：1<i < k且 ai < ak且 k≠1 } + 1
这个状态转移方程的意思就是，MaxLen(k)的值，就是在ak左边，“终点”数值小于ak，且长度最大的那个上升子序列的长度再加1。因为ak左边任何“终点”小于ak的子序列，加上ak后就能形成一个更长的上升子序列。


实际实现的时候，可以不必编写递归函数，因为从 MaxLen(1)就能推算出MaxLen(2)，有了
MaxLen(1)和 MaxLen(2)就能推算出MaxLen(3)……

代码示例：

/* * *Declaration:The author of <<Accelerated C++>> has wrote in the end of that book: As you look for reading materimal, keep in mind that books on the shelf do not make you a better programmer. Ultimately, the only way to improve your programming is to write programs. >这些程序来自一些ACM书籍，作者只为提高编程能力，实现书中例题或练习。如有侵权，请联系作者，作者将立即删除。 * *联系邮箱：mingxinglai#gmail.com * */ #include <stdio.h> #include <memory.h> #define MAX_N 1000 int b[MAX_N + 10]; int aMaxLen[MAX_N + 10]; int main(int argc, char* argv[]) { int N, i; scanf("%d", &N); for( i = 1; i <= N; i++) scanf("%d", &b[i]); aMaxLen[1] = 1; for( i = 2; i <= N; i++) { int nTmp = 0; for( int j = 1; j < i; j++) if( b[i] > b[j] ) { if( nTmp < aMaxLen[j]) nTmp = aMaxLen[j]; } aMaxLen[i] = nTmp + 1; } int nMax = -1; for( i = 1; i <= N; i++ ) if( nMax < aMaxLen[i] ) nMax = aMaxLen[i]; printf("%d\n", nMax); return 0; }