大数四则运算的实现

最新推荐文章于 2021-03-12 17:42:20 发布

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文章标签： java php 密码学

【摘要】大数运算不仅仅运用在密码学中，还运用在物理学、生物学、化学等一些科目的研究中。大数运算，意味着参加的值和计算结果通常是上百位数、上千位数甚至更大长度的整数。例如大家所熟知的圆周率π的值：在一般的数值计算中用到的圆周率不须要多大的精度，但在计算星球或星系上的体积面积时就要求π值计算的精度达到几百万位甚至更高，这样才能缩小误差。人工计算是远远不行了，而且本身误差也无法估计。只有在计算机中用大数运算求π值了。又如，考古学家计算石头内的碳元素衰变来考证地球形成的时间，更是将计算的结果精确到了百年以内。所以说大数的运算是涉及领域多，应用范广，与我们的生活息息相关。在此，我采用一个在java语言下实现计算大数运算的一个程序（http://student.youkuaiyun.com/space.php?uid=622078&do=blog&id=51862）为例，探讨一下大数的四则运算（加法、减法、乘法和除法）算法及代码。

一：大数存储的实现

大数的精度一般是少则几位，多则几万位。在java语言中定义的基本数据类型最多也就是long类型的19位（922,3372,0368,5477,5807），所以用它来存储大数肯定是不行的。但字符串类型的长度可以有很大，我们可以用它来存储。其结构：

Code:

BigNumber
{
//存储大数的数据
privateStringdata;
}

二：各种算法

1：加法运算的实现

加法运算还是比较容易的。可以想想我们刚学习加法运算的时候：先从低位算起，对相应的位相加运算，再加上前一位的进位（如果存在），再判断本位是否有进位，如果有则把本位数字减去权（这里是10），再置进位为1。然后计算下一位（循环）。

注意：1、循环结束的时候，如果有进位，应该在当前结果前加上一个1。

2、负数暂不考虑，不过也不难（两个负数的和等于它们绝对值的和的相反数，正数和负数的和的运算可以看成减法运算）。

附代码：

Code:

publicstaticBigNumberadd(BigNumbera,BigNumberb)
{
Stringstr="";
intm=a.data.length();
intn=b.data.length();
inttemp,oldTemp=0;
if(m>=n)
{
for(inti=0;i<m;i++)
{
intj;
if(i<n)
j=Integer.parseInt(b.data.substring(n-i-1,n-i));
else
j=0;
temp=Integer.parseInt(a.data.substring(m-i-1,m-i))
+j+oldTemp/10;
oldTemp=temp;
str=temp%10+str;
}
str=oldTemp/10+str;
returnnewBigNumber(str);
}
else
{
returnBigNumber.add(b,a);
}
}

2：减法运算的实现

减法稍微复杂一点儿，但也不用担心。算法也是从低位开始，对应位相减再减去上一位的借位（如果有）的值如果小于0则加上权（这里是10），并置借位为1。

注意：1、a>b>0时直接运算，其他情况作相应转换后再运算（如b>a>0时等价于-(a-b)，a>0>b时转换为a+(-b)加法运算等）。

2、结果可能会出现前面有一些0的情况，可以在创建大数对象时进行处理。

3：乘法运算的实现

乘法运算可以看作是加法运算。如：a*b=3*4可以看作((3+3)+3)+3,即4个3的和。具体做法是：定义一个循环，从1到b，每次都做一次加法运算，最终计算出结果。

弊端：若b非常大，那么该算法效率极低。

【改进】依据竖式计算的原理

将乘数的最后一位与被乘数的每一位相乘，记录结果，然后用前一位与被乘数的每一位相乘，记录结果并左移一位，以此类推，直到计算完第一位。再将各项结果相加，得出最后结果。

4：除法运算的实现（Am/Bn）

最初是想着根据除法竖式来实现：从被除数A高位取出大于除数B的值（n位或n+1位）作除，记录当前的商和余数，取被除数的下一位与当前余数连接然后再除以除数B，记录当前的商和余数，以此类推，直到计算完最后一位。将各项商移位相加即得结果。

和同学讨论时又获得一种思路：从被除数A高位取出大于除数B的值（n位或n+1位）作除，在得到的商后面补零（零的个数依次从A高位取值后剩余的位数来决定）并记录，然后用被除数A减去除数与记录值的乘积，将得到的差作为新的被除数。以此类推，直到计算完最后一位。将各项结果相加，得出最后结果。

经过一番思考，又想到一种方法：从被除数A高位取出n位并判断其是否大于除数B的值，如果是则在记录的1后面补m-n个零，否则在记录的1后面补m-n-1个零。然后有一个双层循环，外层根据该记录的长度来循环，内层从0-9循环，在循环体中，如果被除数A减去除数B与该记录的积大于除数B与位权值（1后面有n个零，n由当前循环位置来确定），则记录的当前位增加1，否则跳出当前循环。当循环结束时，记录的值就是要求得的商。