0-1背包问题（动态规划） 解题报告

利用动态规划，以自底向上的方式解各子问题。

解题思路：此问题可转化为：给定c>0，wi>0，vi>0，1≤i≤n，要求找出一

个n元0-1向量(x1，x2，…，xn)，xi∈{0，1}，1≤i≤n，使得∑wixi≤c，而且

∑vixi达到最大。因此，0-1背包是一个特

殊的整数规划问题：

max ∑vixi

s.t. ∑wixi≤c

xi∈{0，1}，1≤i≤n

代码如下：

Code:

1. #include<iostream>
2. #include<iomanip>
3. #include<string>
5. usingnamespacestd;
7. intMin(intw,intc)//取较小值
8. {
9. return(w<c?w:c);
10. }
12. intMax(intw,intc)//取较大值
13. {
14. return(w<c?c:w);
15. }
17. voidKnapsack(intv[],intw[],intc,intn,int**m)
18. {
19. intrange1=Min(w[n]-1,c);
20. for(intj=0;j<=range1;j++)//如果物品的重量超过负重就都复制为0
21. m[n][j]=0;
22. for(j=w[n];j<=c;j++)//对于可以放的
23. m[n][j]=v[n];
24. for(inti=n-1;i>1;i--)//从下往上
25. {
26. range1=Min(w[i]-1,c);
27. for(j=0;j<=range1;j++)//如果物品的重量超过负重则不加入
28. m[i][j]=m[i+1][j];
29. for(intrange2=w[i];range2<=c;range2++)
30. m[i][range2]=Max(m[i+1][range2],m[i+1][range2-w[i]]+v[i]);//放与不放中取较大值
31. }
32. m[1][c]=m[2][c];//对第一个物品进行处理
33. if(c>=w[1])
34. m[1][c]=Max(m[1][c],m[2][c-w[1]]+v[1]);
35. cout<<"最优解:"<<m[1][c]<<endl;
36. }
38. voidPrint_Case(int**m,intw[],intc,intn,intx[])//输出物品存放的情况
39. {
40. cout<<"得到的一组最优解如下:"<<endl;
41. for(inti=1;i<n;i++)
42. if(m[i][c]==m[i+1][c])
43. x[i]=0;
44. else
45. {
46. x[i]=1;
47. }
48. x[n]=(m[n][c])?1:0;
49. for(inty=1;y<=n;y++)
50. {
51. cout<<setw(5)<<x[y];
52. }
53. cout<<endl;
54. return;
55. }
57. voidmain()
58. {
59. intn,c;
60. int**m;
61. cout<<"请输入物品的个数以及重量的上限:";
62. cin>>n>>c;
63. int*v=newint[n+1];
64. cout<<"请输入物品的价值(v[i]:)"<<endl;
65. for(inti=1;i<=n;i++)
66. cin>>v[i];
67. int*w=newint[n+1];
68. cout<<"请输入物品的重量(w[i]):"<<endl;
69. for(intj=1;j<=n;j++)
70. cin>>w[j];
71. int*x=newint[n+1];
72. m=newint*[n+1];
73. for(intp=0;p<n+1;p++)
74. {
75. m[p]=newint[c+1];
76. }
77. Knapsack(v,w,c,n,m);
78. Print_Case(m,w,c,n,x);
79. }