使用SGD(Stochastic Gradient Descent)进行大规模机器学习

本文探讨了在大规模机器学习场景下使用随机梯度下降(SGD)进行优化的方法。介绍了如何通过SGD简化梯度下降过程,并分析了其在不同情况下的收敛特性。此外,还列举了一些经典机器学习算法的随机梯度示例。

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[size=x-large]使用SGD(Stochastic Gradient Descent)进行大规模机器学习[/size]

1 基于梯度下降的学习
对于一个简单的机器学习算法,每一个样例包含了一个(x,y)对,其中一个输入x和一个数值输出y。我们考虑损失函数[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?l\(\hat{y},y\)[/img],它描述了预测值[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\hat{y}[/img]和实际值y之间的损失。预测值是我们选择从一函数族F中选择一个以w为参数的函数[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?f_w\(x\)[/img]的到的预测结果。
我们的目标是寻找这样的函数[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?f\in%20F[/img],能够在训练集中最小化平均损失函数
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?$$Q\(z,w)=l\(f_w\(x\),y\)$$[/img]
由于我们不知道数据的真实分布,所以我们通常使用
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?$$E_n\(f\)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nl\(f\(x_i\),y_i\)$$[/img]
来代替
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?$$E\(f\)=\int%20l\(f\(x\),y\)dP(z)$$[/img]
经验风险[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?E_n\(f\)[/img]用来衡量训练集合的效果。期望风险E(f)描述了泛化(generation)的效果,预测未知样例的能力。
如果函数族F进行足够的限制(sufficiently restrictive
),统计机器学习理论使用经验风险来代替期望风险。

1.1 梯度下降
我们经常使用梯度下降(GD)的方式来最小化期望风险,每一次迭代,基于[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?E_n\(f_w\)[/img]更新权重w:
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?$$w_{t+1}=w_t-\gamma\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\nabla_w%20Q\(z_i,w_t\)$$[/img],[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\gamma[/img]为学习率,如果选择恰当,初始值选择合适,这个算法能够满足线性的收敛。也就是:[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?-\log\rho%20\sim%20t[/img],其中[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\rho[/img]表示残余误差(residual error)。

基于二阶梯度的比较出名的算法是牛顿法,牛顿法可以达到二次函数的收敛。如果代价函数是二次的,矩阵[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Gamma[/img]是确定的,那么这个算法可以一次迭代达到最优值。如果足够平滑的话,[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?-\log\log\rho%20\sim%20t[/img]。但是计算需要计算偏导hession矩阵,对于高维,时间和空间消耗都是非常大的,所以通常采用近似的算法,来避免直接计算hession矩阵,比如BFGS,L-BFGS。

1.2 随机梯度下降
SGD是一个重要的简化,每一次迭代中,梯度的估计并不是精确的计算[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?E_n\(f_w\)[/img],而是基于随即选取的一个样例[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?z_t[/img]:
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?$$w_{t+1}=w_t-\gamma_t\nabla_wQ\(z_t,w_t\)$$[/img]
随机过程[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\{w_t,t=1,...\}[/img]
依赖于每次迭代时随即选择的样例,尽管这个简化的过程引入了一些噪音,但是我们希望他的表现能够和GD的方式一样。

随机算法不需要记录哪些样例已经在前面的迭代过程中被访问过,有时候随机梯度下降能够直接优化期望风险,因为样例可能是随机从真正的分布中选取的。

随机梯度算法的收敛性已经在随机近似算法的论文所讨论。收敛性要满足:
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_t\rho_t^2<\infty[/img]并且[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_t\rho_t=\infty[/img]

二阶随机梯度下降:
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?$$w_{t+1}=w_t-\gamma_t\Gamma_t\nabla_w%20Q(z_t,w_t)$$[/img]
这种方法并没有减少噪音,也不会对计算[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?w_t[/img]有太大改进。

1.3 随即梯度的一些例子
下面列了一些比较经典的机器学习算法的随机梯度,
[img]http://dl.iteye.com/upload/picture/pic/112485/dfdf37ea-377a-3e30-bd1e-ba379c4ef63f.png[/img]
### 随机梯度下降(Stochastic Gradient Descent, SGD)概述 随机梯度下降是一种常用的优化算法,在机器学习和深度学习领域广泛应用。它通过每次迭代仅使用单一样本或一小批样本来更新模型参数,从而显著减少计算开销并提高训练效率[^4]。 #### 基本原理 SGD的核心思想是在每一次迭代过程中,利用单一数据样本的梯度方向来调整模型权重。这种方法相比传统的批量梯度下降(Batch Gradient Descent),能够更快地收敛于局部最优解,尤其是在处理大规模数据集时表现尤为突出[^3]。 #### 实现细节 在实际应用中,Torch框架提供了 `optim.sgd` 方法作为实现随机梯度下降的标准工具之一。该方法允许用户自定义超参数,例如学习率、动量项以及权重衰减系数等,这些设置对于提升模型性能至关重要[^2]。 #### 场景分析 由于其高效性和灵活性,SGD被广泛应用于多种场景下: - **大规模数据集训练**:当面对海量数据时,传统批量梯度下降可能因内存占用过高而无法运行;此时采用SGD可以有效缓解这一问题[^5]。 - **在线学习环境**:在实时流式数据分析任务中,新数据不断涌入系统,要求模型快速适应变化趋势而不需重新加载全部历史记录——这正是SGD擅长之处[^1]。 以下是基于PyTorch的一个简单SGD实现案例: ```python import torch from torch import nn, optim # 定义简单的线性回归模型 model = nn.Linear(in_features=10, out_features=1) # 创建损失函数与优化器 criterion = nn.MSELoss() optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01) # 模拟输入输出数据 inputs = torch.randn(100, 10) targets = torch.randn(100, 1) for epoch in range(10): # 进行多次epoch循环 total_loss = 0 for i in range(len(inputs)): input_data = inputs[i].unsqueeze(0) # 获取单个样本 target_data = targets[i].unsqueeze(0) optimizer.zero_grad() # 清除之前的梯度 output = model(input_data) # 计算预测值 loss = criterion(output, target_data) # 计算当前样本上的误差 loss.backward() # 反向传播求导数 optimizer.step() # 更新参数 total_loss += loss.item() print(f'Epoch {epoch}, Loss: {total_loss / len(inputs)}') ```
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