放苹果与整数划分问题（by幻星总结）

放苹果与整数划分问题（by幻星总结）

以下均假设m>n,对于m<=n情况请编程时自己注意

设h(m,n)表示m个数分成n分，允许某分为0

设g(m,n)表示m个数分成n分，不允许某分为0

于是两者关系为h(m,n)=g(m+n,n)

下面给出两种方法求h(m,n),g(m,n)关于自身的递归公式

(一)利用h(m,n)=sum(g(m,i),i=1..n)

(a)求h(m,n)的递归公式

h(m,n)=sum(g(m,i),i=1..n)

=sum(h(m-i,i),i=1..n)

=h(m-n,n)+ sum(h(m-i,i),i=1..n-1)

=h(m-n,n)+h(m,n-1)

(b)求g(m,n)的递归公式

g(m,n)=h(m-n,n)

=sum(g(m-n,i),i=1..n)

=g(m-n,n)+ sum(g(m-n,i),i=1..n-1)

=g(m-n,n)+ sum(g((m-1)-(n-1),i),i=1..n-1)

=g(m-n,n)+g(m-1,n-1)

(二)直接从意义上获得递归公式

(a)求h(m,n)的递归公式

h(m,n)可以分为至少一分为空h(m,n-1)和一分都不为空h(m-n,n)

h(m,n)=h(m-n,n)+h(m,n-1)

(b)求g(m,n)的递归公式

g(m,n)可以分为至少一分为1即g(m-1,n-1)和一分都不为1即g(m-n,n)

g(m,n)=g(m-n,n)+g(m-1,n-1)

递归关系有了，就可以DP了