一个矩阵标记的问题分析

最新推荐文章于 2023-12-15 09:04:09 发布

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问题描述

给定一个矩阵，假设为n * n的，我们这个矩阵里有若干个数字为1的元素。其他地方的元素值则不为1. 现在需要我们提供一个方法将里面为1的元素所在的行和列都设置成1. 同时要求算法的空间复杂度为O(1)。

分析

这个问题看起来有点容易让人混淆，因为如果我们从前往后这么一行一行的去遍历时，如果碰到一个为1的元素就直接将它所在行和列都设置成1的话。相当于将后面要遍历的一些元素也变成了1,这样我们就没法判断这些元素是本来为1的还是后来被设置成1的。而且，因为有限的空间复杂度我们不能记录下来每个为1的元素的位置信息。

我们以下面的图为例，假定有一个矩阵，它里面包含的1元素如下：

因为在图中只有第2行，第3行和第5行有元素分别为1,那么按照前面设置的思路，最后被设置成的结果应该是这样的：

而如果我们当时碰到一个1元素就直接将它本行或者本列后面的部分置1的话，我们后面遍历到的时候就会产生问题，如下图：

在我们标红的这个地方，如果实现被设置成了1,后面因为没法判断，就会将整个矩阵都置成1了。

所以说，这种原来的思路就有问题。

标记和设置

在讨论这个问题的时候，当时因为受到前面这个思路的影响，可以说被带到沟里去了。其实我们用标记和设置的这个思路来考虑的话，就很好办了。

我们这样来看，既然我们每碰到一个元素，就要将它所在行和列都设置为1, 而为了不影响它后面的遍历，我们肯定不能去修改它后面的元素的值。另外，我们在一个矩阵里，如何去确定一个元素的位置呢？其实很简单，就和二维坐标一样，只要能够确定它所在的行号和列号就可以了。那么如果我们知道一个元素为1的时候，我们就将它所在的元素的行的第一个元素设置为1并将它所在列的第一个元素设置为1。这样不就相当于我们画一些方格的时候给打的点吗？而且有了这些点我们不就可以确定它们后面所画的线了吗？这样也不会对后面的修改造成任何混淆。

依然以前面的图为例，我们在碰到第一个为1的元素时，所要做的事就是设置它所在的行和列的第一个元素，如下图：

这个标红的两个点表示所在的行和列以后要设置为1. 按照这样的思路，我们第一回遍历完整个矩阵之后，得到如下的一个标记结果：

ok，有了这个图我们后面该怎么办呢？其实很简单了，我们就是遍历第一行和第一列，将里面为1的元素对应的行或者列设置为1。当然，在遍历的时候，比如说第一行的时候，我们还有一个特殊的情况要注意，就是假如我们矩阵里m[0][0]的元素为1,我们是不是要将它所在的列置为1呢？因为对应的是第一列，如果一开始我们就将它给设置了的话就破坏了原来设置的结果。所以针对这个特殊的情况，我们需要先跳过，在将后面的所有元素都设置好了之后再回过头来处理它，这样就没问题了。

现在我们来写一个代码的实现，这里主要分为两个部分，第一个是遍历数组设置第一行和第一列的标点元素，第二个是遍历第一行和第一列，然后将对应的行和列标注出来，然后再来判断一下最左上角的元素。

第一部分的实现如下：

void mark(int[][] m, int n) {
    for(int i = 0; i < n; i++)
        for(int j = 0; j < n; j++) {
            if(m[i][j] == 1) {
                m[0][j] = 1;
                m[i][0] = 1;
            }
    }
}

方法很简单，做个标记。

第二个部分的代码：

public void set(int[][] m, int n) {
    for(int i = 1; i < n; i++) { //注意这里i取从1开始，故意跳过m[0][0]元素。
        if(m[0][i] == 1) {
            setColumn(m, n, i);
        }
        if(m[i][0] == 0) {
            setRow(m, n, i);
        }
    }
    if(m[0][0] == 1) {
        setRow(m, n, 0); 
        setColumn(m, n, 0);
    }
}

而setRow, setColumn这两个方法的实现只要注意一点，不要从它们这一行第一个元素开始设置就行了。它们的实现如下：

void setColumn(int[][] m, int n, int col) {
    for(int i = 1; i < n; i++)
        m[i][col] = 1;
}

void setRow(int[][] m, int n, int row) {
    for(int i = 1; i < n; i++)
        m[row][i] = 1;
}