UVa Problem 10254 The Priest Mathematician （牧师数学家）

// The Priest Mathematician （牧师数学家） // PC/UVa IDs: 110606/10254, Popularity: C, Success rate: high Level: 2 // Verdict: Accepted // Submission Date: 2011-06-07 // UVa Run Time: 0.048s // // 版权所有（C）2011，邱秋。metaphysis # yeah dot net // // 设 N 个盘子在 4 柱情况下的移动最小步数为 T（N），在 3 柱子情况下的最小移动步数为 H（N），则 // 通过下列方法可以得到最小移动步数 T（N）。假设第一次先将 1 个盘子通过 4 根柱子移动到非目标柱子， // 然后将 N - 1 个盘子通过 3 根柱子移动到目标柱子，最后把最先移动的盘子移动到目标柱子上，则总步 // 数为 H（N - 1） + 2 * T（1），若第一次移动两个盘子，则步数为 H（N - 2） + 2 * T（2），依 // 此类推，所求的就是当 N 一定时，2 * T（M） + H（N - M）（0 <= M <= N） 的最小值。由于最多 // 可有 10000 个盘子，移动方法数将是一个大整数，超出 long long 型的表示范围。实际上，也可以不 // 需要计算比较最小移动步数，可以观察到 T（N） 的后一项与前一项的差形成以下数列 （N >= 1）： // // 1 2 2 4 4 4 8 8 8 8 16 16 16 16 16 32 32 32 32 32 32 …… // // 2 的 m 次幂出现 （m + 1） 次，m >= 0。 #include <iostream> #include <vector> #include <iomanip> #include <algorithm> using namespace std; class integer { friend ostream& operator<<(ostream&, const integer&); public: integer() { }; // 将无符号整数转换为大整数。 integer(unsigned int a) { if (a == 0) digits.push_back(0); else { while (a) { digits.push_back(a % base); a /= base; } } }; ~integer() { }; integer operator*(const integer&); integer& operator*=(unsigned int); integer& operator*=(const integer&); integer operator+(integer&); private: void zero_justify(void); vector < unsigned int > digits; // 数位。 static unsigned int const base = 10000; // 基数。 static unsigned int const width = 4; // 数位宽度。 }; // 重载输出符号 <<。 ostream& operator<<(ostream& os, const integer& number) { os << number.digits[number.digits.size() - 1]; for (int i = number.digits.size() - 2; i >= 0; i--) os << setw(number.width) << setfill('0') << number.digits[i]; return os; } // 移除大数运算产生的前导 0。 void integer::zero_justify(void) { for (int i = digits.size() - 1; i >= 1; i--) { if (digits[i] == 0) digits.erase(digits.begin() + i); else break; } } integer& integer::operator*=(const integer& b) { return *this = *this * b; } // 大数乘以无符号整数。 integer& integer::operator*=(unsigned int b) { if (b >= base) { *this *= integer(b); return *this; } int carry = 0; for (int i = 0; i < digits.size(); i++) { digits[i] = digits[i] * b + carry; carry = digits[i] / base; digits[i] %= base; } if (carry) digits.push_back(carry); return *this; } // 乘法。 integer integer::operator*(const integer& b) { integer c; // 预先分配足够空间。 c.digits.resize(digits.size() + b.digits.size()); fill(c.digits.begin(), c.digits.end(), 0); // 一行一行算，逐行相加。 for (int i = 0; i < b.digits.size(); i++) for (int j = 0; j < digits.size(); j++) { c.digits[i + j] += digits[j] * b.digits[i]; c.digits[i + j + 1] += c.digits[i + j] / base; c.digits[i + j] %= base; } // 去掉前导0。 c.zero_justify(); return c; } // 加法。 integer integer::operator+(integer& b) { integer c; c.digits.resize(max(digits.size(), b.digits.size()) + 1); fill(c.digits.begin(), c.digits.end(), 0); int carry = 0, x, y, t; for (int i = 0; i < c.digits.size(); i++) { x = y = 0; if (i < digits.size()) x = digits[i]; if (i < b.digits.size()) y = b.digits[i]; t = x + y + carry; carry = t / base; c.digits[i] = t % base; } // 清除前导 0。 c.zero_justify(); return c; } #define MAXDISKS 10001 // 利用最少步骤数前后项相差所形成的数列特点。2 的 m 次幂出现 （m + 1） 次。 void hanoi(vector < int > disks) { // 求出相应盘子数的最少移动步骤数。 vector < integer > steps(MAXDISKS); steps[0] = 0; integer exponent(1); for (int index = 1, sequence = 1; index < MAXDISKS; sequence++) { for (int start = 1; start <= sequence && index < MAXDISKS; start++, index++) steps[index] = steps[index - 1] + exponent; exponent *= 2; } // 输出结果。 for (int i = 0; i < disks.size(); i++) cout << steps[disks[i]] << endl; } int main(int ac, char *av[]) { vector < int > disks; int d; // 读入盘子数。 while (cin >> d) disks.push_back(d); // 求最少移动步骤数。 hanoi(disks); return 0; }