UVa Problem 10157 Expressions （括号表达式）

// Expressions （括号表达式） // PC/UVa IDs: 110604/10157, Popularity: C, Success rate: average Level: 2 // Verdict: Accepted // Submission Date: 2011-06-03 // UVa Run Time: 0.668s // // 版权所有（C）2011，邱秋。metaphysis # yeah dot net // // 如何得到相应的递推关系？翻看了 Catalan 数的推导过程得到了一些启发。首先，括号的数目必须是 // 偶数才可能得到合法的表达式，当 n 为奇数时，不能得到任何深度的正确表达式，同时若深度超过 n // 个括号所能得到的合法表达式的最大深度时，结果也将是 0 。所有深度为 1 的表示式都只有 1 种，假 // 设 T（m，d） 表示括号对数为 m （n = 2 * m），深度不超过 d 的合法括号表达式的总数，则有： // // T（0，d） = 1 // // 对于其他情况，假设 E 是一个深度为 d ，括号对数为 m 的合法表达式，则表达式 E 的最左边的括号 // l 一定和某个右括号 r 配对，他们合在一起把表达式划分为两个合法的括号表达式，在 l 和 r 之间的 // 部分以及 r 右边的部分，即： // // E = （X）Y // // 假设左边部分有 k 对括号，则右边部分有 n - k - 1 对括号，因为 l 和 r 已经用了一对括号，则括号 // 表达式 X 的深度最大为 d - 1 ，括号表达式 Y 的深度最大为 d 。则括号对数为 m，深度为 d 的合法 // 表达式数量为 T（m，d） - T（m，d - 1）。 // // T（m，d） = T（0，d - 1） * T（m - 1，d） + T（1，d - 1） * T（m - 2，d） + …… + T（k， // d - 1） * T（m - k - 1，d），0 <= k <= m - 1。 // // 看起来像是 Catalan 数的二维版本。 // // 用于 How Many Pieces of Land? 问题的大数类在这个问题上，显然效率不够高，于是我改进了一下，以 // 10000为基数，数位改用模10000的值，用无符号整数来保存数位。 #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> #include <iomanip> using namespace std; #define MAXM 151 #define MAXD 151 class integer { friend ostream & operator<<(ostream &, const integer &); public: integer() { }; integer(unsigned int a) { while (a) { digits.push_back(a % base); a /= base; } }; ~integer() { }; integer operator+(integer); integer operator-(integer); integer operator*(integer); private: void zero_justify(void); // 表示大数的结构。数位按模 10000 从低位到高位每 4 位为一组，作为一个 int 型数存放。 vector < unsigned int > digits; static unsigned int const base = 10000; static unsigned int const length = 4; }; // 重载输出符号 <<。 ostream& operator<<(ostream& os, const integer& n) { os << n.digits[n.digits.size() - 1]; for (int i = n.digits.size() - 2; i >= 0; i--) os << setw(n.length) << setfill('0') << n.digits[i]; return os; } // 移除大数运算产生的前导 0。 void integer::zero_justify(void) { for (int i = digits.size() - 1; i >= 1; i--) { if (digits[i] == 0) digits.erase(digits.begin() + i); else break; } } // 加法运算。 integer integer::operator+(integer b) { integer c; c.digits.resize(max(digits.size(), b.digits.size()) + 1); int carry = 0; // 进位。 int marker = 0; // 为两数添加前导 0，以使得数位相同，便于计算。 while (digits.size() < c.digits.size()) digits.push_back(0); while (b.digits.size() < c.digits.size()) b.digits.push_back(0); // 逐位相加。 while (marker < c.digits.size()) { int t = digits[marker] + b.digits[marker] + carry; carry = t / base; c.digits[marker] = t % base; marker++; } c.zero_justify(); return c; } // 减法。 integer integer::operator-(integer b) { integer c; int borrow = 0; // 借位。 int marker = 0; // 计数器。 // 为减数添加前导0，便于计算。 while (b.digits.size() < digits.size()) b.digits.push_back(0); // 从低位开始逐位相减，不够的向高位借位。 while (marker < digits.size()) { int v = digits[marker] - borrow - b.digits[marker]; if (v < 0) { v += base; borrow = 1; } else borrow = 0; c.digits.push_back(v % base); marker++; } c.zero_justify(); return c; } // 乘法。 integer integer::operator*(integer b) { integer c; c.digits.resize(digits.size() + b.digits.size()); fill(c.digits.begin(), c.digits.end(), 0); for (int i = 0; i < b.digits.size(); i++) for (int j = 0; j < digits.size(); j++) { c.digits[i + j] += digits[j] * b.digits[i]; c.digits[i + j + 1] += c.digits[i + j] / base; c.digits[i + j] %= base; } c.zero_justify(); return c; } integer result[MAXM][MAXD]; void init() { for (int m = 0; m < MAXM; m++) for (int d = 0; d < MAXD; d++) result[m][d] = integer(0); for (int d = 0; d < MAXD; d++) result[0][d] = integer(1); for (int m = 1; m < MAXM; m++) for (int d = 1; d < MAXD; d++) for (int k = 0; k <= m - 1; k++) result[m][d] = result[m][d] + result[k][d - 1] * result[m - k - 1][d]; } int main(int ac, char *av[]) { int n, d; init(); while (cin >> n >> d) cout << (result[n / 2][d] - result[n / 2][d - 1]) << endl; return 0; }