HDU 2013 - 蟠桃记（数学公式）

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2013

迭代的方法很简单，直接按题目意思来就可以了。

<span style="font-size:18px;">for (s = n = 1; n &amp;lt; 30; n++)s = (s + 1) * 2;</span>

<span style="font-size:18px;"><br /></span>

<span style="font-size:18px;"><br /></span>

计算机的鼻祖本来就是数学家，自然优化程序的最终方法还是要回归到数学上。
本题很容易得到它的递推方程:

f(1) = 1;f(n) = [f(n-1) + 1] × 2;

于是我们得到:

f(n) + 2 = 2 × [f(n-1) + 2]
f(1) + 2 = 3

=>

f(n) + 2 = 3 × 2n-1

=>

f(n) = 3 × 2n-1 - 2

对于这种推断题还有另外一种递推方法，虽然对于本题来说很麻烦。但有时候它是无可替代的。

f(1) = 1;
f(n) = 2f(n-1) + 2 = f(n-1) + 2f(n-2) + 4;

=>

f(n) + f(n-1) + 4 = 2 × [f(n-1) + f(n+2) + 4];

设 g(n) = f(n) + f(n-1) + 4;

则 g(n) = 2 × g(n-1);
   g(2) = f(2) + f(1) + 4 = 9;

∴g(n) = 9 × 2n-2  (n > 1)

∴f(n)   + f(n-1) = 9 × 2n-2 - 4	①
  f(n-1) + f(n-2) = 9 × 2n-3 - 4	②
  ┋
  f(3)   + f(2)   = 9 × 2 - 4
  f(2)   + f(1)   = 9 - 4

把①式减去②式得
  f(n)   = 9 × 2n-3 + f(n-2)
  f(n-2) = 9 × 2n-5 + f(n-4)
  ┋

这时候，我们需要分类讨论了:

1. n为奇数

     f(n)   = 9 × 2n-3 + f(n-2)
     f(n-2) = 9 × 2n-5 + f(n-4)
     ┋
     f(5)   = 9 × 22 + f(3)
     f(3)   = 9 + f(1)
     f(1)   = 1
   
   从下往上迭代，得:
     f(n) = 9 × (2n-3 + 2n-5 + ... + 22 + 1) + 1
   =>
     f(n) = 9 × (1 - 4(n-1)/2) ÷ (1 - 4) + 1
   =>
     f(n) = 3 × 2n - 1 - 2
   

2. n为偶数

     f(n)   = 9 × 2n-3 + f(n-2)
     f(n-2) = 9 × 2n-5 + f(n-4)
     ┋
     f(4)   = 9 × 21 + f(2)
     f(2)   = 4
   
   从下往上迭代，得:
     f(n) = 9 × (2n-3 + 2n-5 + ... + 21) + 4
   =>
     f(n) = 9 × 2 × (1 - 4(n-2)/2) ÷ (1 - 4) + 4
   =>
     f(n) = 3 × 2n - 1 - 2
   

世上的事往往如此，巧合的事情经常发生。不得不感叹大自然的美妙~
现在我们就得到了这道题目的公式了: f(n) = 3 × 2 ^{n - 1} - 2

#include <math.h>
#include <stdio.h>

int main(void)
{
    int n;

    while (scanf("%d", &n) != EOF)
        printf("%.0f\n", 3 * pow(2, n - 1) - 2);

    return 0;
}