BTree和B+Tree详解

B 树是为了磁盘或其它存储设备而设计的一种多叉（下面你会看到，相对于二叉，B树每个内结点有多个分支，即多叉）平衡查找树。

B 树又叫平衡多路查找树。一棵m阶的B 树 (m叉树)的特性如下：

• 树中每个结点最多含有m个孩子（m>=2）；
• 除根结点和叶子结点外，其它每个结点至少有[ceil(m / 2)]个孩子（其中ceil(x)是一个取上限的函数）；
• 若根结点不是叶子结点，则至少有2个孩子（特殊情况：没有孩子的根结点，即根结点为叶子结点，整棵树只有一个根节点）；
• 所有叶子结点都出现在同一层，叶子结点不包含任何关键字信息(可以看做是外部接点或查询失败的接点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针都为null)；
• 每个非终端结点中包含有n个关键字信息： (P1，K1，P2，K2，P3，......，Kn，Pn+1)。其中：

       a)   Ki (i=1...n)为关键字，且关键字按顺序升序排序K(i-1)< Ki。 
       b)   Pi为指向子树根的接点，且指针P(i)指向子树种所有结点的关键字均小于Ki，但都大于K(i-1)。 
       c)   关键字的个数n必须满足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1。
 

 

来模拟下查找文件29的过程：

•    (1) 根据根结点指针找到文件目录的根磁盘块1，将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作1次】
•    (2) 此时内存中有两个文件名17，35和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现17<29<35，因此我们找到指针p2。
•    (3) 根据p2指针，我们定位到磁盘块3，并将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作2次】
•    (4) 此时内存中有两个文件名26，30和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现26<29<30，因此我们找到指针p2。
•    (5) 根据p2指针，我们定位到磁盘块8，并将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作3次】
•    (6) 此时内存中有两个文件名28，29。根据算法我们查找到文件29，并定位了该文件内存的磁盘地址。

插入操作

生 成从空树开始，逐个插入关键字。但是由于B_树节点关键字必须大于等于[ceil(m/2)-1],所以每次插入一个关键字不是在树中添加一个叶子结点， 而是首先在最底层的某个非终端节点中添加一个“关键字”，该结点的关键字不超过m-1,则插入完成；否则要产生结点的“分裂”，将一半数量的关键字元素分裂到新的其相邻右结点中，中间关键字元素上移到父结点中。

1、咱们通过一个实例来逐步讲解下。插入以下字符字母到一棵空的B 树中（非根结点关键字数小了（小于2个）就合并，大了（超过4个）就分裂）：C N G A H E K Q M F W L T Z D P R X Y S，首先，结点空间足够，4个字母插入相同的结点中，如下图：

2、当咱们试着插入H时，结点发现空间不够，以致将其分裂成2个结点，移动中间元素G上移到新的根结点中，在实现过程中，咱们把A和C留在当前结点中，而H和N放置新的其右邻居结点中。如下图：

3、当咱们插入E,K,Q时，不需要任何分裂操作

4、插入M需要一次分裂，注意M恰好是中间关键字元素，以致向上移到父节点中

5、插入F,W,L,T不需要任何分裂操作

6、插入Z时，最右的叶子结点空间满了，需要进行分裂操作，中间元素T上移到父节点中，注意通过上移中间元素，树最终还是保持平衡，分裂结果的结点存在2个关键字元素。

7、插入D时，导致最左边的叶子结点被分裂，D恰好也是中间元素，上移到父节点中，然后字母P,R,X,Y陆续插入不需要任何分裂操作（别忘了，树中至多5个孩子）。

8、最后，当插入S时，含有N,P,Q,R的结点需要分裂，把中间元素Q上移到父节点中，但是情况来了，父节点中空间已经满了，所以也要进行分裂，将父节点中的中间元素M上移到新形成的根结点中，注意以前在父节点中的第三个指针在修改后包括D和G节点中。这样具体插入操作的完成。