力扣48.旋转图像

本文详细介绍了如何在不使用额外空间的情况下旋转二维矩阵。方法一是通过创建临时数组实现旋转,而方法二是采用原地旋转,将矩阵分为四部分,依次进行元素交换。通过循环操作,实现了矩阵的原地旋转,解决了空间限制的问题。

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方法1:

观察示例1中的矩阵变换,可以看出,第一行变换后变成了倒数第一列,而本行中元素的顺序没有改变。

同样的,第二行变为倒数第二列,第三行变为倒数第三列。

因此,我们有:

matrix[col][n-row-1] = matrix[row][col]          式(1)

因此,可以使用一个临时的辅助数组存储旋转后的结果,最后再将辅助数组复制到原数组。

法2:

题目中要求在不使用额外空间的情况下旋转矩阵。

法1中,有:

matrix[col][n-row-1] = matrix[row][col]

如果直接使用这个式子进行旋转,会导致原矩阵中的值被覆盖。

如下图,观察矩阵变换,可以发现如果将矩阵分为4块,依此将4个位置的矩阵元素进行旋转,即可达到目的。

我们可以推出这四个位置的坐标的关系:

第一个位置:matrix[row][col];

则根据式(1),第二个位置:matrix[col][n-row-1]

我们令

于是根据式(1),第三个位置:matrix[n-row-1][n-col-1]

继续令:

根据式(1),第4个位置:matrix[n-col-1][row]

而如果再旋转一次,令

下一个位置便为:matrix[row][col],我们又回到了起点。

也就是说:

在一个循环之中。

因此我们用一个临时变量完成四项的原地交换:

class Solution {
    public void rotate(int[][] matrix) {
        int n = matrix.length;
        for(int i=0;i<n/2;i++){
            for(int j=0;j<(n+1)/2;j++){
                int temp = matrix[i][j];
                matrix[i][j] = matrix[n-j-1][i];
                matrix[n-j-1][i] = matrix[n-i-1][n-j-1];
                matrix[n-i-1][n-j-1] = matrix[j][n-i-1];
                matrix[j][n-i-1] = temp;
            }
        }
    }
}

 

### 力扣LeetCode)第48题:旋转图像的C++解决方案 #### 方法一:矩阵转置 + 行翻转 此方法的核心思想是先将矩阵沿主对角线进行转置操作,然后再逐行反转每行中的元素。这种方法的时间复杂度为 \(O(n^2)\),其中 \(n\) 是矩阵的边长;由于不需要额外的空间存储数据,因此其空间复杂度为 \(O(1)\)[^2]。 以下是具体的实现代码: ```cpp class Solution { public: void rotate(vector<vector<int>>& matrix) { int n = matrix.size(); // Step 1: Transpose the matrix (swap elements across diagonal) for (int i = 0; i < n; ++i) { for (int j = i + 1; j < n; ++j) { // Start from i+1 to avoid redundant swaps swap(matrix[i][j], matrix[j][i]); } } // Step 2: Reverse each row of the transposed matrix for (int i = 0; i < n; ++i) { reverse(matrix[i].begin(), matrix[i].end()); } } }; ``` 上述代码通过两次遍历实现了原地修改的功能。 --- #### 方法二:一次性旋转四个位置 该方法基于观察到每次旋转实际上是将四个特定的位置上的数值互换这一特性来完成整个矩阵的旋转过程。具体来说,在外层循环控制当前处理的是哪一层环形结构时,内层循环负责交换这些环内的相应单元格值[^3]。 下面是采用这种方式编写的程序版本之一: ```cpp class Solution { public: void rotate(vector<vector<int>>& matrix) { int len = matrix.size(); int len1 = (len + 1) / 2; int len2 = len - len1; for (int i = 0; i < len1; ++i) { for (int j = 0; j < len2; ++j) { int temp = matrix[i][j]; matrix[i][j] = matrix[len - 1 - j][i]; matrix[len - 1 - j][i] = matrix[len - 1 - i][len - 1 - j]; matrix[len - 1 - i][len - 1 - j] = matrix[j][len - 1 - i]; matrix[j][len - 1 - i] = temp; } } } }; ``` 这段代码同样满足题目要求不分配新的二维数组来进行旋转的操作条件,并且保持了时间和空间效率的要求. --- ### 总结 两种不同的算法都可以有效地解决这个问题。第一种方式更加直观易懂,而第二种则更贴近实际旋转的本质逻辑。无论选用哪种方案都需要特别注意边界情况以及索引计算准确性等问题以确保最终结果正确无误。
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