【环形dp】poj 2228 Naptime

本文探讨了一种特殊的动态规划问题——环形DP,并提出了一种有效的优化策略。通过将问题转化为两次线性DP,避免了内存溢出的问题,同时保持了状态转移方程的正确性。文章详细解释了优化过程及其实现细节。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

题目链接

题意:一天分为N个时间片(可顺到下一天->环形),选择其中B个睡觉。选择第i个时间片能获得u_i点值,但是选择的一个区间内的第一个时间片用来入睡(没睡着),无法获得u_i值。问最大能获得多少u_i值。

第一次做环形dp,本以为按照普通环形方式在数组后面复制一遍即可,但没想到这道题可能就考我们如何不MLE?

 

dp[i][j][k]代表前i个时间片,睡了j个时间片得到的最大的utility,由于第i个时间片能否起作用取决于上一个时间片有没有选,因此开了第三维代表第i个时间片选了没。 (一开始是设的k代表前一个时间片选没,不易思考)

不选第i个时间片: 

前一个时间片没选:dp[i][j][0] = max(dp[i-1][j][0] + 0, dp[i][j][0]); 

前一个时间片选了:dp[i][j][0] = max(dp[i-1][j][1] + 0, dp[i][j][0]);

选第i个时间片

前一个时间片没选:dp[i][j][1] = max(dp[i-1][j - 1][0] + 0, dp[i][j][1]);

前一个时间片选了:dp[i][j][1] = max(dp[i-1][j - 1][1] + util[i], dp[i][j][1]);

注意每次转移之前要判断状态合不合法,因为我们初始化不成立的状态为-1,可能会不成立的状态+util[] 导致错误的状态,如果初始化为-INF,只要数据范围不超,应该就不会出现这种问题

然后我们在domjudge上就run error了,赛后交到poj发现是MLE,遂改成类似滚动数组这样,仍然MLE

菜菜的我们为自己状态转移方程正确而感到高兴(〃'▽'〃),但A才是最重要的,嘤嘤嘤

补题:核心是把环形dp转化成两次线性dp。具体如何实现的呢?不考虑环形的话会遗漏一种情况,就是时间片1是睡着了的,所以第二次dp的时候把时间片n和1设置为入睡,具体操作为初始化dp[1][1][1]=utility[1],更新答案的时候只更dp[n&1][b][1]

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=4e3;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int dp[2][N][2];
int n,b;
int u[N];
int ans=0;
int main()
{
    cin>>n>>b;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        cin>>u[i];
    memset(dp,-INF,sizeof(dp));
    dp[0][0][0]=dp[1][1][1]=dp[1][0][0]=0;
    for(int i=2;i<=n;++i)           //start from 2
    {
        int k=i&1;
        for(int j=1;j<=i;++j)
        {
            dp[k][j][0]=max(dp[k^1][j][0],dp[k^1][j][1]);
            dp[k][j][1]=max(dp[k^1][j-1][0],dp[k^1][j-1][1]+u[i]);
        }
    }
    ans=max(dp[n&1][b][0],dp[n&1][b][1]);
    memset(dp,-INF,sizeof(dp));
    dp[1][1][1]=u[1];
    dp[0][0][0]=dp[1][0][0]=0;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        int k=i&1;
        for(int j=1;j<=i;++j)       //here
        {
            dp[k][j][0]=max(dp[k^1][j][0],dp[k^1][j][1]);
            dp[k][j][1]=max(dp[k^1][j-1][0],dp[k^1][j-1][1]+u[i]);
        }
    }
    ans=max(ans,dp[n&1][b][1]);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;



}

参考博客

下面是我们2019JSCPC热身赛时敲的代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<stack>
#include<map>
#include<queue>
#include<set>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 8000;
int k=1;
int dp[2][maxn][2];
int util[maxn];
int cnt=0;

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> util[i];

    //fill(dp[0][0], dp[0][0] + maxn * maxn * 2, -INF);
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    //dp[1][0][0] = 0;
    //for(int i = 1; i <= 2 * n; i++)
        dp[0][0][0] = 0;
        dp[1][0][0]= 0;
        dp[1][1][1] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        util[i + n] = util[i];

    //cout << dp[1][1][0] << endl;
    //cout<<"?"<<endl;
    for(cnt = 2; cnt <= 2 * n; cnt++)
    {

        for(int j = 1; j <= cnt; j++)
        {
            cout << cnt << " " << j << endl;
            if(dp[k^1][j][0] >= 0)
            {
                //cout << "if 1:  ";
                //cout << dp[i][j][0] << " " << dp[i - 1][j][0] << " " ;
                dp[k][j][0] = max(dp[k^1][j][0] + 0, dp[k][j][0]);
                //cout << dp[i][j][0] << endl;
            }
            if(dp[k^1][j][1] >= 0)
            {
                //cout << "if 2:  ";
                //cout << dp[i][j][0] << " " << dp[i - 1][j][1] << " ";
                dp[k][j][0] = max(dp[k^1][j][1] + 0, dp[k][j][0]);
                //cout << dp[i][j][0] << endl;
            }
            if(dp[k^1][j - 1][0] >= 0)
            {
                //cout << "if 3:  " ;
                //cout << dp[i][j][1] << " " << dp[i - 1][j - 1][0] << " ";
                dp[k][j][1] = max(dp[k^1][j - 1][0] + 0, dp[k][j][1]);
                //cout << dp[i][j][1] << endl;
            }
            if(dp[k^1][j - 1][1] >= 0)
            {
                //cout << "if 4  ";
                //cout << dp[i][j][1] << " " << dp[i - 1][j - 1][1] + util[i] << " " ;
                dp[k][j][1] = max(dp[k^1][j - 1][1] + util[cnt], dp[k][j][1]);
                //cout << dp[i][j][1] << endl;
            }
        }
        k^=1;
    }

    cout << max(dp[(2*n)&1][m][0], dp[(2*n)&1][m][1] ) << endl;

    return 0;
}

 

### 关于拔河问题的动态规划实现 拔河问题是经典的 **0/1 背包变种问题**,其核心目标是将一群人分成两队,使得每队的人数最多相差 1,并且两队的体重总和尽可能接近。此问题可以通过动态规划 (Dynamic Programming, DP) 来解决。 #### 动态规划的核心思路 该问题可以转化为一个子集划分问题:给定一组重量 \( w_1, w_2, \ldots, w_n \),找到两个子集 \( A \) 和 \( B \),满足以下条件: 1. 子集 \( A \) 的权重之和与子集 \( B \) 尽可能接近。 2. 如果总人数为奇数,则其中一个子集多一个人;如果总人数为偶数,则两者人数相等。 通过定义状态转移方程来解决问题。设 \( S \) 是所有人重量的总和,\( half = S / 2 \) 表示一半的重量。我们尝试寻找不超过 \( half \) 的最大子集重量 \( sum_A \),从而另一部分的重量自然就是 \( sum_B = S - sum_A \)[^1]。 #### 实现细节 以下是基于动态规划的具体算法描述: 1. 定义数组 `dp`,其中 `dp[i]` 表示是否存在一种组合方式使其重量恰好等于 \( i \)。 2. 初始化 `dp[0] = true`,表示重量为零的情况总是可行。 3. 遍历每个人的重量 \( w_i \),更新 `dp` 数组的状态。 4. 找到最大的 \( j \leq half \) 并使 `dp[j] == true` 成立,此时 \( j \) 即为一侧的最大重量 \( sum_A \)。 下面是具体的代码实现: ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; int main() { int n; while(cin >> n && n != 0){ vector<int> weights(n); int total_weight = 0; for(int &w : weights){ cin >> w; total_weight += w; } int half = total_weight / 2; vector<bool> dp(half + 1, false); // dp[i] means whether weight 'i' is achievable. dp[0] = true; for(auto w : weights){ for(int j = half; j >= w; --j){ if(dp[j - w]){ dp[j] = true; } } } // Find the largest possible value less than or equal to half int closest_sum = 0; for(int j = half; j >= 0; --j){ if(dp[j]){ closest_sum = j; break; } } cout << min(closest_sum, total_weight - closest_sum) << " " << max(closest_sum, total_weight - closest_sum) << endl; } } ``` 上述程序实现了如何利用动态规划求解拔河问题中的最优分配方案[^2]。 #### 常见错误分析 对于 POJ 和 UVa 上的不同表现,可能是由于输入处理上的差异所致。UVa 版本通常涉及多组测试数据,而 POJ 可能仅限单组输入。因此,在提交至 UVa 时需注意循环读取直到文件结束标志 EOF 出现为止[^3]。 另外需要注意的是边界情况以及整型溢出等问题,确保所有变量范围适当设置以容纳可能出现的最大数值。
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