【环形dp】poj 2228 Naptime

最新推荐文章于 2025-06-13 15:02:56 发布

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本文探讨了一种特殊的动态规划问题——环形DP，并提出了一种有效的优化策略。通过将问题转化为两次线性DP，避免了内存溢出的问题，同时保持了状态转移方程的正确性。文章详细解释了优化过程及其实现细节。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接

题意：一天分为N个时间片（可顺到下一天->环形），选择其中B个睡觉。选择第i个时间片能获得u_i点值，但是选择的一个区间内的第一个时间片用来入睡（没睡着），无法获得u_i值。问最大能获得多少u_i值。

第一次做环形dp，本以为按照普通环形方式在数组后面复制一遍即可，但没想到这道题可能就考我们如何不MLE？

$dp[i][j][k]$ 代表前i个时间片，睡了j个时间片得到的最大的utility，由于第i个时间片能否起作用取决于上一个时间片有没有选，因此开了第三维代表第i个时间片选了没。（一开始是设的k代表前一个时间片选没，不易思考）

不选第i个时间片:

前一个时间片没选：dp[i][j][0] = max(dp[i-1][j][0] + 0, dp[i][j][0]);

前一个时间片选了：dp[i][j][0] = max(dp[i-1][j][1] + 0, dp[i][j][0]);

选第i个时间片

前一个时间片没选：dp[i][j][1] = max(dp[i-1][j - 1][0] + 0, dp[i][j][1]);

前一个时间片选了：dp[i][j][1] = max(dp[i-1][j - 1][1] + util[i], dp[i][j][1]);

注意每次转移之前要判断状态合不合法，因为我们初始化不成立的状态为-1，可能会不成立的状态+util[] 导致错误的状态，如果初始化为-INF，只要数据范围不超，应该就不会出现这种问题

然后我们在domjudge上就run error了，赛后交到poj发现是MLE，遂改成类似滚动数组这样，仍然MLE

菜菜的我们为自己状态转移方程正确而感到高兴(〃'▽'〃)，但A才是最重要的，嘤嘤嘤

补题：核心是把环形dp转化成两次线性dp。具体如何实现的呢？不考虑环形的话会遗漏一种情况，就是时间片1是睡着了的，所以第二次dp的时候把时间片n和1设置为入睡，具体操作为初始化dp[1][1][1]=utility[1]，更新答案的时候只更dp[n&1][b][1]

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=4e3;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int dp[2][N][2];
int n,b;
int u[N];
int ans=0;
int main()
{
    cin>>n>>b;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        cin>>u[i];
    memset(dp,-INF,sizeof(dp));
    dp[0][0][0]=dp[1][1][1]=dp[1][0][0]=0;
    for(int i=2;i<=n;++i)           //start from 2
    {
        int k=i&1;
        for(int j=1;j<=i;++j)
        {
            dp[k][j][0]=max(dp[k^1][j][0],dp[k^1][j][1]);
            dp[k][j][1]=max(dp[k^1][j-1][0],dp[k^1][j-1][1]+u[i]);
        }
    }
    ans=max(dp[n&1][b][0],dp[n&1][b][1]);
    memset(dp,-INF,sizeof(dp));
    dp[1][1][1]=u[1];
    dp[0][0][0]=dp[1][0][0]=0;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        int k=i&1;
        for(int j=1;j<=i;++j)       //here
        {
            dp[k][j][0]=max(dp[k^1][j][0],dp[k^1][j][1]);
            dp[k][j][1]=max(dp[k^1][j-1][0],dp[k^1][j-1][1]+u[i]);
        }
    }
    ans=max(ans,dp[n&1][b][1]);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;



}

参考博客

下面是我们2019JSCPC热身赛时敲的代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<stack>
#include<map>
#include<queue>
#include<set>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 8000;
int k=1;
int dp[2][maxn][2];
int util[maxn];
int cnt=0;

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> util[i];

    //fill(dp[0][0], dp[0][0] + maxn * maxn * 2, -INF);
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    //dp[1][0][0] = 0;
    //for(int i = 1; i <= 2 * n; i++)
        dp[0][0][0] = 0;
        dp[1][0][0]= 0;
        dp[1][1][1] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        util[i + n] = util[i];

    //cout << dp[1][1][0] << endl;
    //cout<<"?"<<endl;
    for(cnt = 2; cnt <= 2 * n; cnt++)
    {

        for(int j = 1; j <= cnt; j++)
        {
            cout << cnt << " " << j << endl;
            if(dp[k^1][j][0] >= 0)
            {
                //cout << "if 1:  ";
                //cout << dp[i][j][0] << " " << dp[i - 1][j][0] << " " ;
                dp[k][j][0] = max(dp[k^1][j][0] + 0, dp[k][j][0]);
                //cout << dp[i][j][0] << endl;
            }
            if(dp[k^1][j][1] >= 0)
            {
                //cout << "if 2:  ";
                //cout << dp[i][j][0] << " " << dp[i - 1][j][1] << " ";
                dp[k][j][0] = max(dp[k^1][j][1] + 0, dp[k][j][0]);
                //cout << dp[i][j][0] << endl;
            }
            if(dp[k^1][j - 1][0] >= 0)
            {
                //cout << "if 3:  " ;
                //cout << dp[i][j][1] << " " << dp[i - 1][j - 1][0] << " ";
                dp[k][j][1] = max(dp[k^1][j - 1][0] + 0, dp[k][j][1]);
                //cout << dp[i][j][1] << endl;
            }
            if(dp[k^1][j - 1][1] >= 0)
            {
                //cout << "if 4  ";
                //cout << dp[i][j][1] << " " << dp[i - 1][j - 1][1] + util[i] << " " ;
                dp[k][j][1] = max(dp[k^1][j - 1][1] + util[cnt], dp[k][j][1]);
                //cout << dp[i][j][1] << endl;
            }
        }
        k^=1;
    }

    cout << max(dp[(2*n)&1][m][0], dp[(2*n)&1][m][1] ) << endl;

    return 0;
}