自动控制系统的基本性能指标

本文探讨了在三轴跟踪云台调试过程中遇到的PID控制问题,并深入研究了自动控制系统的数学模型及其性能指标。文章详细介绍了时域模型与复域模型的概念,以及如何通过动态性能指标和稳态性能指标来评估控制系统的性能。

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在调试三轴跟踪云台时遇到了PID控制问题。研究过程中不可避免用到自动控制系统的性能指标,学习总结了一下经典教材中的相关内容。本文包括如下内容:

  • 控制系统的数学模型
    • 时域模型
    • 复域模型
  • 控制系统的性能指标
    • 典型输入信号
    • 动态过程与动态性能指标
    • 稳态过程与稳态性能指标

控制系统的数学模型

在控制系统的分析设计中,首先要建立控制系统的数学模型,数学模型是描述系统内部物理量(或变量)之间的关系的数学表达式。建立控制系统数学模型的方法通常有分析法和实验法两种。

分析法

需要已知系统各部分依据的物理规律或化学规律列出相应方程。

实验法

实验法人为地给系统施加某种测试信号,记录其输出响应,并用适当的数学模型去逼近,这种方式又称为系统辨识。

在使用分析法进行系统建模时,常见的模型有时域模型、复域模型。


时域模型

使用微分方程描述的系统模型称为时域模型。在给定外作用及初始条件下,求解微分方程可以获得系统的输出响应。这种方法比较直观,有助于借助计算机迅速求得结果。但如果系统结构改变或某几个参数改变时,就要重新列方程求解,不便于系统分析和设计。(具体微分方程略)


复域模型

使用拉氏变换法求解线性系统的微分方程时,可以得到控制系统在复数域的数学模型:传递函数。传递函数不仅可以表征系统的动态性能,而且可以用来研究系统结构或参数变化对系统性能的影响。

传递函数定义

线性定常系统的传递函数G(s),定义为零初始条件下,系统输出量的拉氏变换C(s),与输入量的拉氏变换R(s)之比。


传递函数的性质
  • 传递函数是复变量s的有理真分式函数,具有复变函数的所有性质。
  • 传递函数是一种用系统参数表示输入量与输出量之间关系的表达式,只取决于系统或元件的结构和参数,而与输入量的形式无关。
  • 传递函数与微分方程有相通性,两者(两个类型的系统模型)可以用d/dt与s互相置换的方式变换。
  • G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t),即脉冲函数δ(t)输入时的输出响应。

控制系统的性能指标

控制系统性能评价分为动态性能指标和稳态性能指标两类。为了求解系统的时间响应(我们关注的性质)。必须了解输入信号(即外作用)的解析表达式。然而在一般情况下,外加输入有随机性无法预知。


典型输入信号

研究分析系统的性能指标时,通常选择若干典型输入信号作为动态性能指标和稳态性能测试之用,典型输入信号包括:
  • 单位阶跃函数
  • 单位斜坡函数
  • 单位加速度函数
  • 单位脉冲函数
  • 正弦函数

实际中采用上述哪种典型输入信号取决于系统常见的工作状态。同时,在所有可能的输入信号中,选择最不利的信号作为典型输入信号测试系统指标。在典型输入信号作用下,任何控制系统的时间响应都有动态过程和稳态过程两部分组成。因此,系统的时间响应、动态、稳态过程与动态、稳态性能指标以及典型输入信号的关系如下图所示。



动态过程与动态性能指标

动态过程

动态过程又称过渡过程瞬态过程,指系统在典型输入信号作用下,系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦及其他原因,系统输出量不可能完全复现输入量的变化。根据系统结构和参数的选择,动态过程表现为衰减、发散、等幅振荡等形式。

动态性能

系统的动态过程提供系统稳定性、响应速度及阻尼情况,由动态性能指标描述。通常在阶跃函数作用下,测定或计算系统的动态性能。描述稳定的系统在单位阶跃函数的作用下,动态过程随时间t的变化状况的指标,称为动态性能指标。系统的单位阶跃响应如下图所示。


上升时间(rise time)tr

指响应从终值10%上升到终值90%所需的时间;对于有振荡的系统,也可定义为响应从零第一次上升到终值所需的时间。上升时间tr是系统响应速度的一种度量。上升时间越短,响应速度越快。

峰值时间 tp

指响应超过其终值达到第一个峰值所需的时间。上升时间tp是系统响应速度的一种度量。

调节时间(settingtime)ts

指响应到达并保持在终值±5%(或±2%)内所需的最短时间。调节时间ts是评价系统响应速度和阻尼程度的综合指标。

超调量(overshoot):σ %

指响应的最大偏离量c(tp)与终值c(∞)之比的百分数,即


若c(tp)<c(∞),则响应无超调。σ%评价系统的阻尼程度


稳态过程与稳态性能指标


稳态过程

稳态过程指系统在典型输入信号作用下,当时间t趋于无穷时,系统输出量的表现方式。稳态过程又称为稳态响应,表征系统输出量最终复现输入量的程度,提供系统有关稳态误差的信息,用稳态性能描述。

稳态性能——稳态误差(steady-state error)

稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标,通常在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数作用下进行测定或计算。若时间区域无穷时,系统的输出量不等于输入量或者输入量的确定函数,则系统存在稳态误差。稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量

参考文献:

《自动控制原理》第六版

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