自动控制系统的基本性能指标

在调试三轴跟踪云台时遇到了PID控制问题。研究过程中不可避免用到自动控制系统的性能指标，学习总结了一下经典教材中的相关内容。本文包括如下内容：

• 控制系统的数学模型
  • 时域模型
  • 复域模型
• 控制系统的性能指标
  
  • 典型输入信号
  • 动态过程与动态性能指标
  • 稳态过程与稳态性能指标

控制系统的数学模型

在控制系统的分析设计中，首先要建立控制系统的数学模型，数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间的关系的数学表达式。建立控制系统数学模型的方法通常有分析法和实验法两种。

分析法

需要已知系统各部分依据的物理规律或化学规律列出相应方程。

实验法

实验法人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，这种方式又称为系统辨识。

在使用分析法进行系统建模时，常见的模型有时域模型、复域模型。

时域模型

使用微分方程描述的系统模型称为时域模型。在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以获得系统的输出响应。这种方法比较直观，有助于借助计算机迅速求得结果。但如果系统结构改变或某几个参数改变时，就要重新列方程求解，不便于系统分析和设计。（具体微分方程略）

复域模型

使用拉氏变换法求解线性系统的微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数学模型：传递函数。传递函数不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统结构或参数变化对系统性能的影响。

传递函数定义

线性定常系统的传递函数G(s)，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换C(s)，与输入量的拉氏变换R(s)之比。

传递函数的性质

• 传递函数是复变量s的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质。
• 传递函数是一种用系统参数表示输入量与输出量之间关系的表达式，只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入量的形式无关。
• 传递函数与微分方程有相通性，两者（两个类型的系统模型）可以用d/dt与s互相置换的方式变换。
• G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)，即脉冲函数δ(t)输入时的输出响应。

控制系统的性能指标

控制系统性能评价分为动态性能指标和稳态性能指标两类。为了求解系统的时间响应(我们关注的性质)。必须了解输入信号（即外作用）的解析表达式。然而在一般情况下，外加输入有随机性无法预知。

典型输入信号

研究分析系统的性能指标时，通常选择若干典型输入信号作为动态性能指标和稳态性能测试之用，典型输入信号包括：

• 单位阶跃函数
• 单位斜坡函数
• 单位加速度函数
• 单位脉冲函数
• 正弦函数

实际中采用上述哪种典型输入信号取决于系统常见的工作状态。同时，在所有可能的输入信号中，选择最不利的信号作为典型输入信号测试系统指标。在典型输入信号作用下，任何控制系统的时间响应都有动态过程和稳态过程两部分组成。因此，系统的时间响应、动态、稳态过程与动态、稳态性能指标以及典型输入信号的关系如下图所示。

动态过程与动态性能指标

动态过程

动态过程又称过渡过程或瞬态过程，指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦及其他原因，系统输出量不可能完全复现输入量的变化。根据系统结构和参数的选择，动态过程表现为衰减、发散、等幅振荡等形式。

动态性能

系统的动态过程提供系统稳定性、响应速度及阻尼情况，由动态性能指标描述。通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动态性能。描述稳定的系统在单位阶跃函数的作用下，动态过程随时间t的变化状况的指标，称为动态性能指标。系统的单位阶跃响应如下图所示。

上升时间（rise time）t_r

指响应从终值10%上升到终值90%所需的时间；对于有振荡的系统，也可定义为响应从零第一次上升到终值所需的时间。上升时间t_r是系统响应速度的一种度量。上升时间越短，响应速度越快。

峰值时间 t_p

指响应超过其终值达到第一个峰值所需的时间。上升时间t_p是系统响应速度的一种度量。

调节时间（settingtime）t_s

指响应到达并保持在终值±5%(或±2%)内所需的最短时间。调节时间t_s是评价系统响应速度和阻尼程度的综合指标。

超调量（overshoot）：σ %

指响应的最大偏离量c(t_p)与终值c(∞)之比的百分数，即

若c(t_p)<c(∞)，则响应无超调。σ%评价系统的阻尼程度。

稳态过程与稳态性能指标

稳态过程

稳态过程指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现方式。稳态过程又称为稳态响应，表征系统输出量最终复现输入量的程度，提供系统有关稳态误差的信息，用稳态性能描述。

稳态性能——稳态误差（steady-state error）

稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标，通常在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数作用下进行测定或计算。若时间区域无穷时，系统的输出量不等于输入量或者输入量的确定函数，则系统存在稳态误差。稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。

参考文献：

《自动控制原理》第六版

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