Python 与神奇的数学之科赫曲线

关注

原创 2022-03-11 22:05:41 1.7k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

科赫曲线绘制代码讲解（python实验舱）绝对正经，新手小白制作，不喜勿喷，妄得打赏，1毛也行。阅读详情

切入正题之前，先让我们了解一下分形和分形几何.

分形（Fractal）一词，是 芒德勃罗 于1973年创造出来的，为不规则、支离破碎之意。其具有以非整数维形式充填空间的形态特征，通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”，即具有自相似的性质。

分形几何是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。相对于传统几何学的研究对象为整数维数，如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空。分形几何的研究对象为非负实数维数，如 0.63、1.58、2.72、log2/log3（参见康托尔集）。由于不规则现象在自然界普遍存在，因此分形几何又被称为描述大自然的几何。

数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统。

既然基于递归，分形几何与 python 就产生了密切的关系。

下面我们以科赫曲线为例，来展示一下这种关系的魅力。

科赫曲线（Koch curve）源自 海里格·冯·科赫 的论文，是一种像雪花的几何曲线，故又称为雪花曲线，它是de Rham曲线的特例。科赫曲线是比较典型的分形图形，具有严格的自相似特性。

给定线段 AB，科赫曲线可以由以下步骤生成：

将线段分成三等份（AC，CD，DB）
以CD为底，向外（内外随意）画一个等边三角形DMC
将线段CD移去
分别对AC，CM，MD，DB重复上述步骤

上述步骤已昭示了递归的基例（0阶，即线段AB）和链条（等边三角形的两边）。由此我们先以 3 阶科赫曲线为例，其代码为：

#3阶科赫曲线

from turtle import *

def koch(line,n):
    if n==0:
        fd(line)
    else:
        for angle in [0,60,-120,60]:
            lt(angle)
            koch(line/3,n-1)

def main():
    setup(800,400)
    pu()
    goto(-300,-50)
    pd()
    width(2)
    color('blue')
    koch(600,3)
    ht()
main()

结果如下：

上述图形已经具备了雪花的部分特征，3 段这样的曲线便可构成完美的雪花。

#科赫雪花

from turtle import *

def koch(line,n):
    if n==0:
        fd(line)
    else:
        for angle in [0,60,-120,60]:
            lt(angle)
            koch(line/3,n-1)

def main():
    setup(1000,600)
    pu()
    goto(-200,100)
    pd()
    width(2)
    color('blue')
    
    level=3    
    koch(400,level)
    rt(120)
    koch(400,level)
    rt(120)
    koch(400,level)
    ht()
main()

3 阶科赫雪花结果如下，具有 192 个顶点：