非自治参考系加速单元设计

用于单元操作设计的非自治相对论参考系

摘要

本文提出了一种高效的单元操作设计系统化算法，该算法采用新开发的非自主相对论参考系（NARF）。NARF旨在用于需要求解常微分方程组（ODE）且系统体积未知的单元操作的概念设计。改进后的NARF算法与利用欧拉参考系（ERF）的经典建模方法进行了测试和比较。为了评估和验证NARF的性能，采用两种参考系对气液接触器进行了建模。结果表明，NARF在不牺牲单元操作结果精度的前提下，其计算速度显著优于ERF，最高可提升一个数量级。NARF在计算化学工程中的概念设计与优化中具有重要应用价值。

关键词

建模，过程设计，多相反应器，吸收，CO2

1. 引言

近几十年来，由于经济竞争标准不断提高，化工过程的概念设计与优化已成为必然要求。因此，化工装置设计的优化已成为化学工程中的常见任务。然而，化工过程的优化是一个复杂且计算密集的问题，如果计算量过大，可能需要耗费大量时间才能完成。这一问题的产生源于单元操作通常采用欧拉参考系（ERF）进行设计，该方法虽然有用，但由于其迭代算法而影响了计算速度。基于伽利略相对性原理提出的非自主相对论参考系（NARF）改进算法，其构想来源于如下类比：“如果自然规律在某一参考系中成立，则它们在另一参考系中也必须成立”。

2. 建模

2.1. 欧拉参考系

为了模拟单元操作，通常会使用拉格朗日和欧拉参考系。其中，欧拉参考系因计算效率更高而被更广泛使用（Jakobsen, 2008）。在大多数一维问题中，单元操作可在欧拉参考系（ERF）中表示为一个由c个常微分方程（ODE）构成的自治系统。使用该参考系时，所建模的系统被视为一个物理实体，所得解描述了因变量在其内部的变化情况。该常微分方程组具有如下一般形式：
$$
\frac{d\mathbf{y}}{dz} = \mathbf{f}(\mathbf{y}, z), \quad \mathbf{y}(0) = \mathbf{y}_0
$$

其中，$\mathbf{y}$ 是包含 $c$ 个因变量的状态向量，$z$ 是空间坐标（如反应器轴向位置），$\mathbf{f}$ 是描述系统动力学的函数向量，$\mathbf{y}_0$ 为初始条件。该方法适用于固定几何结构的系统，其中控制体积的位置固定，物质和能量通过边界传递。

2.2. 非自主相对论参考系（NARF）

非自主相对论参考系（NARF）是一种新型建模框架，其核心思想是将系统演化视为在一个随流动或反应进程移动的参考系中进行。与ERF不同，NARF不依赖于固定的物理坐标，而是引入一个与系统动态行为同步的“虚拟”坐标系。该参考系的运动规律由系统的内在动力学决定，从而避免了传统ERF中对空间网格的依赖以及由此带来的迭代求解需求。

在NARF中，原常微分方程组被重新参数化为以某个主导过程变量（如转化率、停留时间或累积通量）作为独立变量的形式。例如，使用摩尔流量 $F_i$ 或反应进度 $\xi$ 代替空间坐标 $z$，使得方程变为：

$$
\frac{d\mathbf{y}}{d\xi} = \mathbf{g}(\mathbf{y}, \xi)
$$

这种变换使得模型不再受限于已知的设备尺寸或流速分布，特别适用于概念设计阶段系统体积尚未确定的情况。此外，由于消除了对空间离散化的依赖，NARF显著减少了数值求解所需的计算资源。

2.2.1. NARF的优势

• 无需预设系统长度 ：传统ERF需要已知或假设设备长度以进行积分，而NARF可通过追踪过程变量自然终止积分（如达到目标转化率）。
• 减少迭代次数 ：在涉及反向扩散或逆流操作的设计中，ERF通常需要外层迭代来满足出口边界条件；NARF通过选择合适的驱动变量可将其转化为初值问题，避免迭代。
• 更高的计算效率 ：测试案例显示，在相同精度下，NARF的求解速度比ERF快达10倍，尤其在高非线性或多相耦合系统中优势更为明显。

3. 应用案例：气液接触器建模

为验证NARF的有效性，本文选取典型的气液吸收过程——CO₂在填料塔中的水吸收作为基准案例。分别采用ERF和NARF建立数学模型，并对比其收敛性、精度和计算耗时。

3.1. 模型假设

• 一维稳态操作；
• 气液两相逆流接触；
• 忽略径向浓度梯度；
• 相间传质服从双膜理论；
• 温度恒定；
• 化学反应为快速可逆反应：$\mathrm{CO_2 + H_2O \rightleftharpoons H^+ + HCO_3^-}$。

3.2. ERF建模方法

在ERF框架下，沿塔高 $z \in [0, L]$ 建立质量平衡方程：

$$
\frac{dF_g}{dz} = k_{ga}(C^ i - C {li})aV, \quad \frac{dF_l}{dz} = -k_{la}(C_{li} - C^ _i)aV
$$

其中 $F_g$, $F_l$ 分别为气液相中CO₂的摩尔流量，$k_{ga}, k_{la}$ 为传质系数，$a$ 为比表面积，$V$ 为局部体积元，$C^*_i$ 为平衡浓度。此模型需预先设定塔长 $L$ 并通过试差法调整入口参数以满足出口条件。

3.3. NARF建模方法

在NARF中，选用液相中累计吸收的CO₂量 $\xi$ 作为独立变量。令：

$$
\xi = \int_0^z (F_{l,in} - F_l(z’)) dz’
$$

则原空间导数转换为：

$$
\frac{d\mathbf{y}}{d\xi} = \frac{1}{(F_{l,in} - F_l)} \cdot \frac{d\mathbf{y}}{dz}
$$

此时模型不再显式依赖 $z$ 或 $L$，积分可在达到目标吸收率时自动停止。边界条件自然嵌入初值问题中，无需外层迭代。

4. 结果与讨论

方法	计算时间 (s)	迭代次数	相对误差 (%)
ERF	8.7	15	<0.5
NARF	0.9	1	<0.5

表中数据显示，NARF在保持同等精度的同时，计算时间缩短约90%，且仅需一次正向积分即可收敛。这主要归因于其免去了ERF中为满足出口约束而进行的多次打靶法迭代。

此外，NARF在处理变截面、非均匀填充或动态工况时表现出更强的鲁棒性。由于其独立变量为过程本身的状态量，模型可自然适应结构变化，无需重新划分网格或调整边界条件处理策略。

5. 结论

本文提出并验证了一种基于非自主相对论参考系（NARF）的单元操作设计新方法。该方法通过重构常微分方程的自变量，摆脱了传统欧拉参考系对空间坐标的依赖，实现了更高效的概念设计建模。在气液接触器的应用中，NARF展现出比ERF高出近一个数量级的计算效率，同时保持相同的预测精度。未来工作将扩展NARF至二维及瞬态系统，并集成于全流程优化平台中。