70、基于时间目标的车辆调度在线算法策略分析

基于时间目标的车辆调度在线算法策略分析

在车辆运输调度中，遇到拥堵顶点是一个常见且棘手的问题，因为在选择路线时，拥堵情况往往难以提前预知。为了解决这一问题，我们将探讨三种基本策略及其竞争性能，并提出一种更优的简单选择策略。

三种基本策略分析

在运输过程中，以时间为优化目标，有三种基本策略可供选择，下面我们来详细分析。

贪心策略（Greedy Strategy）

• 策略描述 ：当运输者到达顶点 $O_i$ ，发现下一个顶点 $r_i$ 拥堵时，排除拥堵顶点序列 $R_i$ 后，选择从当前顶点 $O_i$ 到目的地 $D$ 的最短路径并沿此路径行驶。
• 竞争比定理 ：对于具有拥堵序列 $R_k$ 的在线车辆调度问题，贪心策略（记为 $A$ ）的竞争比为 $2^{k + 1} - 1$。
  • 证明过程 ：车辆从 $O$ 出发，遇到拥堵顶点时按贪心策略选择路线到达 $D$ ，总时间 $T_{TA}(OD|R_k)$ 满足 $T_{TA}(OD|R_k) \leq T_{opt}(OD) + T_{opt}(O_1D|R_1) + T_{opt}(O_2D|R_2) + \cdots + T_{opt}(O_kD|R_k)$ 。通过一系列推导可得 $T_{TA}(OD|R_k) \leq (2^{k + 1} - 1)T_{opt}(OD|R_k)$ 。
• 性能评价 ：在最坏情况下，车辆从 $O$ 到 $D$ 的在线时间可能是离线问题的 $2^{k + 1} - 1$ 倍，因此该策略在这种情况下不可行。但如果每次遇到拥堵顶点时，沿优化路线行驶的时间“相对较短”，采用此策略是比较经济的。其竞争性能积极但有风险。

重置策略（Reposition Strategy）

• 策略描述 ：当运输者到达顶点 $O_i$ ，发现下一个顶点 $r_i$ 拥堵时，沿当前路线返回原点 $O$ ，然后在图 $G$ 中排除已知拥堵顶点集合后选择最优路径。
• 竞争比定理 ：对于具有拥堵序列 $R_k$ 的在线车辆调度问题，重置策略（记为 $B$ ）的竞争比为 $2k + 1$。
  • 证明过程 ：车辆从原点 $O$ 出发，按重置策略行驶，总在线时间 $T_{TB}(OD|R_k)$ 满足 $T_{TB}(OD|R_k) \leq 2T_{opt}(OD) + 2T_{opt}(OD|R_1) + 2T_{opt}(OD|R_2) + \cdots + 2T_{opt}(OD|R_{k - 1}) + T_{opt}(OD|R_k) \leq (2k + 1)T_{opt}(OD|R_k)$ 。
• 性能评价 ：在最坏情况下，车辆从原点到目的地的时间可能是离线问题的 $2k + 1$ 倍。与贪心策略相比，重置策略避免了走“坏路”的风险，但错过了走“好路”的机会，其竞争性能安全但保守。

等待策略（Waiting Strategy）

• 策略描述 ：运输者每次遇到拥堵顶点时停留等待，直到拥堵顶点恢复正常，然后继续沿原路线行驶。
• 竞争比分析 ：记等待策略为 $C$ ，在线时间 $T_{TC}(OD|R_k) = T_{opt}(OD) + T(R_k)$ ，离线时间为 $T_{opt}(OD|R_k)$ ，竞争比为 $\frac{T_{TC}(R_k)}{T_{opt}(OD|R_k)} = \frac{T_{opt}(OD) + T(R_k)}{T_{opt}(OD|R_k)}$ 。
• 性能评价 ：等待策略的竞争比不仅与拥堵顶点的数量有关，还与等待时间 $T(R_k)$ 有关。当 $T(R_k)$ 较小时，竞争比接近 1；当 $T(R_k)$ 较大时，竞争比也较大。因此，其竞争性能既经济又有风险。

简单示例分析

为了更直观地理解这三种策略，我们来看一个简单的示例。假设车辆从 $O$ 到 $D$ ，无论选择何种路线，都会依次在相邻顶点 $O_i$ 遇到三个拥堵顶点 $R = {r_1, r_2, r_3}$ ，且 $t(r_1) = 2$ ，$t(r_2) = 1$ ，$t(r_3) = 0.5$ 。

策略	路线	总时间
贪心策略	$OO_1O_4O_6O_0D$	9.1
重置策略	$OO_1OO_7OO_{13}OO_{16}O_{17}O_{18}D$	4.8
等待策略	按原路线等待后继续行驶	4.2
综合策略	根据不同情况选择	2.8

从这个示例可以看出，贪心策略积极但有风险，重置策略保守但安全，等待策略的性能与等待时间直接相关。而综合策略结合了三种策略的优点，在实际应用中表现更好。

下面用 mermaid 流程图展示综合策略的决策过程：

graph TD
    A[遇到拥堵顶点 $r_i$] --> B{计算 $T_i$}
    B --> C{$T_i = T_{opt}(O_iD|R_i)$}
    B --> D{$T_i = T_{opt}(OD|R_i)$}
    B --> E{$T_i = t(r_i) + T_{opt}(O_iD|R_{i - 1})$}
    C --> F[选择贪心策略]
    D --> G[选择重置策略]
    E --> H[选择等待策略]

通过以上分析，我们对三种基本策略有了更深入的了解，并且看到了综合策略的优势。在下半部分，我们将详细介绍简单选择策略及其竞争分析。

基于时间目标的车辆调度在线算法策略分析

简单选择策略的竞争分析

在前面的分析中，我们看到了三种基本策略各自的优缺点。为了更好地应对车辆调度中的拥堵问题，我们提出了简单选择策略，该策略旨在综合三种基本策略的优势，做出更优的决策。

简单选择策略的定义

当车辆遇到编号为 $i$（$i = 1, 2, \cdots, k$）的拥堵顶点 $r_i$ 时，运输者首先计算：
$T_i = \min{T_{opt}(O_iD|R_i), T_{opt}(OD|R_i), t(r_i) + T_{opt}(O_iD|R_{i - 1})}$
然后根据以下条件选择后续路线的策略：
1. 如果 $T_i = T_{opt}(O_iD|R_i)$，车辆将根据贪心策略选择路线。
2. 如果 $T_i = T_{opt}(OD|R_i)$，车辆将根据重置策略行驶。
3. 如果 $T_i = t(r_i) + T_{opt}(O_iD|R_{i - 1})$，车辆将根据等待策略行驶。

需要注意的是，如果三者相等，或者至少两者相等，运输者优先取 $T_i = t(r_i) + T_{opt}(O_iD|R_{i - 1})$，其次取 $T_i = T_{opt}(O_iD|R_i)$。

简单选择策略的竞争比定理

记简单选择策略为 $D$，对于具有拥堵序列 $R_k$ 和相对恢复时间序列 $T(R_k)$ 的在线车辆调度问题，简单选择策略 $D$ 的竞争比为 $2k + 1$。

以下是证明过程：
1. 情况一：始终满足 $T_i = T_{opt}(O_iD|R_i)$
车辆全程根据贪心策略选择路线，总时间 $T_{TD}(OD|R_k)$ 满足：
$T_{TD}(OD|R_k) \leq w(OO_1) + T_{opt}(O_1D|R_1) + T_{opt}(O_2D|R_2) + \cdots + T_{opt}(O_kD|R_k) \leq T_{opt}(OD) + T_{opt}(OD|R_1) + T_{opt}(OD|R_2) + \cdots + T_{opt}(OD|R_k) \leq (k + 1)T_{opt}(OD|R_k)$
2. 情况二：最坏情况下，始终满足 $T_i = T_{opt}(OD|R_i)$
车辆全程根据重置策略行驶，根据重置策略的竞争比定理，总时间 $T_{TD}(OD|R_k) \leq (2k + 1)T_{opt}(OD|R_k)$。
3. 情况三：始终满足 $T_i = t(r_i) + T_{opt}(O_iD|R_{i - 1})$
车辆全程根据等待策略行驶，总时间 $T_{TD}(OD|R_k) = T_{opt}(OD) + T(R_k) \leq T_{opt}(OD) + \sum_{i = 1}^{k}T_{opt}(OD|R_i) \leq (k + 1)T_{opt}(OD|R_k)$
4. 情况四：存在 $j$ 个拥堵顶点 $r_{i_1}, r_{i_2}, \cdots, r_{i_j}$（$1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_j \leq k$，$1 \leq j < k$）满足特定条件
- 车辆第一次从 $O$ 出发，到达拥堵顶点 $r_{i_1}$ 前，无论是按贪心策略还是等待策略行驶，所用时间 $w_{11}$ 满足 $w_{11} \leq T_{TD}(OD|R_{i_1 - 1}) \leq i_1T_{opt}(OD|R_k)$。因为 $T_{i_1} = T_{opt}(OD|R_{i_1})$，车辆按简单选择策略返回原点 $O$，返回时间 $w_{12} \leq w_{11}$，来回总时间 $w_1 = w_{11} + w_{12} \leq 2i_1T_{opt}(OD|R_k)$。
- 车辆第二次从 $O$ 出发，到达拥堵顶点 $r_{i_2}$ 前，所用时间 $w_{21}$ 满足 $w_{21} \leq T_{TD}(OD|r_1, r_2, \cdots, r_{i_1}, r_{i_1 + 1}, r_{i_1 + 2}, \cdots, r_{i_2 - 1}) \leq (i_2 - i_1)T_{opt}(OD|R_k)$，来回总时间 $w_2 \leq 2w_{21} \leq 2(i_2 - i_1)T_{opt}(OD|R_k)$。
- 以此类推，第 $j$ 次从 $O$ 出发，到达拥堵顶点 $r_{i_j}$ 前，来回总时间 $w_j \leq 2(i_j - i_{j - 1})T_{opt}(OD|R_k)$。
- 第 $j + 1$ 次从 $O$ 出发，按贪心策略或等待策略行驶直到到达目的地 $D$，所用时间 $w_{j + 1}$ 满足 $w_{j + 1} \leq (k - i_j + 1)T_{opt}(OD|R_k)$。
从原点 $O$ 到目的地 $D$ 的总时间 $T_{TD}(OD|R_k) \leq \sum_{l = 1}^{j + 1}w_l \leq 2i_1T_{opt}(OD|R_k) + 2(i_2 - i_1)T_{opt}(OD|R_k) + \cdots + 2(i_j - i_{j - 1})T_{opt}(OD|R_k) + (k - i_j + 1)T_{opt}(OD|R_k) = (k + i_j + 1)T_{opt}(OD|R_k)$。

综合以上四种情况，根据竞争比的定义，简单选择策略 $D$ 对于具有拥堵序列 $R_k$ 的在线车辆调度问题的竞争比为 $2k + 1$。

简单选择策略的优势

简单选择策略虽然与重置策略具有相同的竞争比 $2k + 1$，但其竞争性能有了显著提升。它充分考虑了拥堵顶点的动态特征以及贪心策略、等待策略和重置策略的优势，根据不同情况选择不同的策略，具体优势如下：
- 把握“好路”机会 ：利用贪心策略，充分抓住走“好路”的机会。
- 避免“坏路”风险 ：在必要时采用重置策略，避免走“坏路”或长时间等待的风险。
- 优化路线行驶 ：选择短时间等待，以便继续沿优化路线行驶，避免走“坏路”。
- 减少不必要重置 ：避免车辆进行不必要的重置，避免了过于保守的做法。

总结与展望

在车辆调度中，拥堵顶点问题是一个难以预见的难题，将理论结果应用于实际具有重要的价值。本文针对在线车辆调度问题提出了简单选择策略，该策略综合了三种基本策略的优势，在实际应用中表现更优。

然而，还有许多问题需要进一步探讨，例如：
1. 如何更高效地选择优化路线，以节省时间和成本。
2. 拥堵顶点是否会随着时间恢复正常，以及恢复的规律如何。

未来的研究可以围绕这些问题展开，以进一步完善车辆调度的策略，提高运输效率。

下面用 mermaid 流程图展示简单选择策略的整体流程：

graph LR
    A[车辆出发] --> B{遇到拥堵顶点 $r_i$}
    B --> C[计算 $T_i$]
    C --> D{判断 $T_i$ 情况}
    D --> E{ $T_i = T_{opt}(O_iD|R_i)$ }
    D --> F{ $T_i = T_{opt}(OD|R_i)$ }
    D --> G{ $T_i = t(r_i) + T_{opt}(O_iD|R_{i - 1})$ }
    E --> H[采用贪心策略]
    F --> I[采用重置策略]
    G --> J[采用等待策略]
    H --> K{是否到达目的地}
    I --> K
    J --> K
    K --> L[是]
    K --> B[否]

通过以上分析，我们可以看到简单选择策略为车辆调度提供了一种更合理、更经济的解决方案，有望在实际运输中得到广泛应用。