70、量子比特路由算法理论

量子比特路由算法理论

1. 问题难度：路径与链

在某些情况下，即使图 $G$ 是一条路径且 $P$ 是一个链（即全序集），量子比特路由问题也是 NP 难的。

• 相关定义
  • 对于一个交换序列 $f_0 \to f_1 \to \cdots \to f_{\ell}$（记为 $f$），$f_0$ 和 $f_{\ell}$ 分别是 $f$ 的初始和目标令牌放置，$f$ 的长度 $\ell$ 记为 $|f|$。
  • 若两个交换序列 $f_1$ 和 $f_2$ 满足 $f_1$ 的目标令牌放置等于 $f_2$ 的初始令牌放置，则它们的连接记为 $f_1 \circ f_2$，且 $|f_1 \circ f_2| = |f_1| + |f_2|$。
  • 当 $f$ 的初始和目标令牌放置相同时，对于正整数 $h$，$f^h = f \circ f \circ \cdots \circ f$（$f$ 出现 $h$ 次）。
  • 对于链 $P = (S, \preceq)$，设 $s_1, s_2, \cdots, s_{|S|}$ 是 $S$ 中的不同元素，且 $s_1 \prec s_2 \prec \cdots \prec s_{|S|}$，则 $P$ 和 $\phi$ 的信息可表示为序列 $Q = (q_1, q_2, \cdots, q_{|S|})$，其中 $q_i := \phi(s_i)$。若交换序列 $f_0 \to f_1 \to \cdots \to f_{\ell}$ 实现 $Q$，则存在 $0 \leq i_1 \leq i_2 \leq \c