38、双向比较分类与离散Voronoi博弈的研究进展

双向比较分类与离散Voronoi博弈的研究进展

1. 双向比较分类相关理论

1.1 子树分裂与引理

在双向比较分类的研究中，子树分裂是一个重要的操作。例如，对于子树 $T_u$（其中 $u = u_1$），可以围绕其后代节点进行分裂。如围绕 $u_4$ 分裂时，会得到不同的子树结构。
这里有两个重要的引理：
- 引理3 ：设 $\beta$ 是 $u_{j - 1}$ 的祖先 $u_s$ 中，其结果 $u_s \to u’ {s + 1}$ 与 $u_j \to u {j + 1}$ 一致的数量（$0 \leq \beta \leq j - 1$），则有 $w(u’ 2) \geq (j - 1 - \beta) w(u {j + 1}) + \beta w(u’ {j + 1}) + \sum {i = 3}^{j}(\delta_{i - 1} - 1)w(u’ i)$。
- 引理4 ：假设 $T$ 是最优树，$x$ 是任意测试节点（不一定在 $T$ 中）。设 $u_1 \to \cdots \to u {j + 1}$ 是从 $u_1$ 出发的与 $x$ 一致的路径的前缀。对于 $1 \leq i \leq j - 1$，设 $\delta_i$ 是路径上 $u_i$ 的祖先 $u_s$ 中，$u_s \to u’ {s + 1}$ 和 $u_i \to u’ {i + 1}$ 与 $u_j$ 处相反结果一致的数量。设 $\beta’$ 是 $u_j$ 的祖先 $u_s$ 中，