38、椭圆 - 抛物系统与相关问题研究

椭圆 - 抛物系统与相关问题研究

椭圆 - 抛物系统的不等式推导

在椭圆 - 抛物系统的研究中，有一系列重要的不等式推导。首先，通过一系列运算得到：
[
\begin{align }
&\leq|\nabla\Delta v_0|_p^p + TK_4C_3^p[(K_1 + K_2)M|\Omega|^{1/p} + M]^p + K_3\int_0^t|\nabla\Delta v(s)|_p^p ds\
\end{align }
]
利用 Gronwall 引理，可推出：
[
|\nabla\Delta v(t)|_p^p \leq{|\nabla\Delta v_0|_p^p + TK_4C_3^p[(K_1 + K_2)|\Omega|^{1/p} + 1]^pM^p}e^{K_3T}
]
接着，对于 (v) 的 (L^p) 范数，有如下推导：
[
\begin{align }
\frac{1}{p}\frac{d}{dt}\int_{\Omega}|v|^p dx + (p - 1)\int_{\Omega}|v|^{p - 2}|\nabla v|^2 dx &\leq\int_{\Omega}g(U, V)|v|^{p - 1} dx\
&\leq\int_{\Omega}\frac{p - 1}{p}|v|^p + \frac{1}{p}|g(U, V)|^p dx
\end{align }
]
其中 (|g(V(x, t), V(x, t))| \leq\sup{|