37、抽象分析与椭圆 - 抛物系统详解

抽象分析与椭圆 - 抛物系统详解

1. 抽象分析基础概念

1.1 局部绝对连续函数与勒贝格点

局部绝对连续函数是定义在实数集 $\mathbb{R}$ 上的函数，它在任何紧区间上都是绝对连续的。对于局部可和函数 $f(x)$，勒贝格点 $x_0$ 满足：
$\lim_{h\downarrow0}\frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0 + h}|f(x) - f(x_0)|dx = \lim_{h\downarrow0}\frac{1}{h}\int_{x_0 - h}^{x_0}|f(x) - f(x_0)|dx = 0$
勒贝格微分定理表明，勒贝格点集的补集的勒贝格测度为 0。

1.2 巴拿赫空间及其重要定理

巴拿赫空间是完备的赋范空间，具有三个重要性质：
- 哈恩 - 巴拿赫定理 ：有解析形式和几何形式。解析形式确保定义在赋范空间 $H$ 的子空间 $H_0$ 上的有界线性算子 $T_0 : H_0 \to \mathbb{R}$ 可以有一个有界线性扩展 $T : H \to \mathbb{R}$，满足 $|T_0| {H_0’} = |T| {H’}$。几何形式是分离原理，即赋范空间中不相交的凸集 $A$ 和 $B$，当 $A$ 是开集时可被超平面弱分离，当 $A$ 是闭集且 $B$ 是紧集时可被强分离。
- 巴拿赫 - 施坦豪斯定理 ：若 $X$ 和 $Y$ 是巴拿赫空间，有界线性算子 $T_n : X \to Y$（$n = 1, 2, \cdots$）满足对于每个 $x \in X$ 有