30、AutoKoopman Toolbox：自动化系统识别的利器

AutoKoopman Toolbox：自动化系统识别的利器

1. 多项式和随机傅里叶特征可观测量处理

对于多项式和随机傅里叶特征可观测量，通常的做法是先确定合适的可观测量，然后找到能为这些可观测量生成最佳拟合线性模型的Koopman算子。在这种情况下，优化问题（4）的最优解可以通过扩展动态模式分解（eDMD）来确定，eDMD在可观测量空间中执行动态模式分解（DMD）。
具体操作步骤如下：
1. 从轨迹集T构建矩阵：
- (X = [g_x(x_0), \ldots, g_x(x_{s - 1})])
- (X’ = [g_x(x_1), \ldots, g_x(x_s)])
- (U = [u_0, \ldots, u_{s - 1}])
2. Koopman线性化系统（5）的动力学可以表示为 (X’ = A X + B U = K_{\Delta t}[X, U])，这样优化问题（4）就变为 (\arg\min_{K_{\Delta t}}|X’ - K_{\Delta t}[X, U]| {MSE})。
3. 最小化均方误差的解为 (K {\Delta t} = X’[X, U]^+)，其中 ([X, U]^+) 表示Moore - Penrose逆。由于通常数据量很大，矩阵 ([X, U]) 非常大，为了提高计算效率，使用奇异值分解（SVD）的低秩矩阵近似来估计Moore - Penrose逆。SVD的秩是一个超参数，适当调整有助于避免模型对数据中的高频噪声过拟合。
4. 如果目标是识别连续时间而非离散时间的线性系统，只需将矩阵 (X’) 替换为相应的时间导数 (X’ = [\partial g_x(x_0)/\par