26、快速检查 Clifford 门量子电路等价性

快速检查 Clifford 门量子电路等价性

1. 量子电路基础运算

在量子电路的研究中，我们先从一些基本的运算和概念入手。以一个具体的例子来说，对于一个量子态的变换，我们有如下计算：

CNOT · 1
2
⎡
⎢⎢⎣
1
1
1
1
⎤
⎥⎥⎦=
⎡
⎢⎢⎣
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
⎤
⎥⎥⎦· 1
2
⎡
⎢⎢⎣
1
1
1
1
⎤
⎥⎥⎦= 1
2
⎡
⎢⎢⎣
1
1
1
1
⎤
⎥⎥⎦

这表明经过 CNOT 门操作后，量子态保持不变。CNOT 门的作用规则是：当 (b_1 = 1) 时，翻转 (|b_1b_2\rangle) 中的第二个输入。所以我们可以直接计算 ( \frac{1}{2}(|00\rangle + |01\rangle + |10\rangle + |11\rangle)) ，它会变成 ( \frac{1}{2}(|00\rangle + |01\rangle + |11\rangle + |10\rangle)) ，而无需显式地进行矩阵乘法。

最后，我们对 ( \frac{1}{2}(|00\rangle + |01\rangle + |10\rangle + |11\rangle)) 这个态应用两个 Hadamard 门：

(H ⊗H)
⎛
⎜
⎜
⎝
1
2
⎡
⎢⎢⎣
1
1
1
1
⎤
⎥⎥⎦
⎞
⎟
⎟
⎠= 1
4
⎡
⎢⎢⎣
1 1
1
1
1 −1 1 −1
1 1 −1 −1
1 −1 −1 1
⎤
⎥⎥