21、关系抽象域的最小化比较技术解析

关系抽象域的最小化比较技术解析

1. 引言

在对关系不变式进行比较时，传统方法往往使用不变式的整体进行比较，这可能会引入一些错误的、延续性的改进。为了更精确地比较关系不变式，我们提出了一种基于定点算法的方法，旨在最小化比较关系抽象域，从而更准确地评估不同分析技术和抽象域的精度。

2. 问题提出

在比较假分支的不变式时，若使用不变式的整体而非仅改变的部分，会发现某些情况下结果的精度有所不同。例如，在假分支中，不变式改变部分的变量集可能相同，但在真分支中并非总是如此。如$\Delta(I_t, {x, y}) = y \leq x$，而$\Delta(\sim I_t, {x, y}) = y \leq x \land w \leq y$，后者多了变量$w$。为了进行合理的比较，需要对改变部分的不变式添加最小必要的内容。

3. 解决方法

3.1 问题定义

在DFA框架下，框架提供一组更新后的变量$dv$，从而产生新的不变式$I$。抽象域为$I$实现了函数$\Delta$，它返回$I$中已更新或依赖于$dv$中变量的部分。最坏情况下，$\Delta(I, dv) = I$；最好情况下，$\Delta(I, dv) = \varnothing$。同时，引入函数$V$，用于返回$I$中使用的变量集。

设$I_1$和$I_2$为两个关系不变式，$dv_1$和$dv_2$为它们对应的更新变量集。找到两个不变式的最小改变部分的问题，可归结为找到一个共同的最小更新变量集$S$，使得$S = V(\Delta(I_1, S)) = V(\Delta(I_2, S))$。

3.2 寻找共同