10、利用最大割预测BDD操作的内存需求

利用最大割预测BDD操作的内存需求

1. 预备知识

在布尔函数的操作和分析中，有两个重要的基础概念：图与割，以及二元决策图（BDD）。

1.1 图与割

有向图是一个元组 $(V, A)$，其中 $V$ 是有限的顶点集，$A \subseteq V \times V$ 是顶点之间的弧集。对于顶点 $v \in V$，其入弧集为 $in(v) = A \cap (V \times {v})$，出弧集为 $out(v) = A \cap ({v} \times V)$。如果入度 $|in(v)| = 0$，则 $v$ 是源点；如果出度 $|out(v)| = 0$，则 $v$ 是汇点。

有向图 $(V, A)$ 的割是 $V$ 的一个划分 $(S, T)$，满足 $S \cup T = V$ 且 $S \cap T = \varnothing$。给定权重函数 $w : A \to R$，加权最大割问题是找到一个割 $(S, T)$，使得 $\sum_{a \in S \times T \cap A} w(a)$ 最大，即从 $S$ 中的顶点到 $T$ 中的顶点的弧的总权重最大。在不降低割的权重的情况下，可以假设 $V$ 中的所有源点都属于划分 $S$，所有汇点都属于 $T$。有向图的最大割问题是 NP 完全问题，即使将问题限制在有向无环图（DAG）上，问题的复杂度也不会降低。

如果权重函数 $w$ 仅计算穿过割的弧的数量，即 $\forall a \in A : w(a) = 1$，则上述问题简化为无权最大割问题，此时割的权重和大小可以互换。

1.2 二元决策图

二元决策图（BDD）是一个 DAG