4、代数曲线在密码学中的应用与发展

代数曲线在密码学中的应用与发展

1. 引言

代数方程求解一直是数学研究的核心。代数曲线作为特殊的方程类型，在现代数学中扮演着重要角色。随着计算工具的发展和计算机性能的提升，代数曲线在计算机视觉、编码理论、计算机安全与密码学、物理学等领域得到了广泛应用。

有限域上的代数曲线在公钥密码体制设计中应用广泛。自1986年和1987年椭圆曲线被引入公钥密码学以来，它一直备受密码学界关注。不过，椭圆曲线并非唯一可有效用于密码学的代数曲线，亏格为2和3的超椭圆曲线同样适用。通过在离散对数问题（DLP）被认为困难的代数曲线上选择合适的点集构成的群，可以实现许多标准协议。

然而，量子计算的出现对现有的公钥密码体制构成了威胁。Shor算法表明量子计算机可以有效解决离散对数问题，这促使人们寻找能够抵抗量子攻击的替代算法，即后量子密码学（PQC）。基于椭圆曲线的超奇异同源Diffie - Hellman（SIDH）密钥交换协议被提出，为后量子密码学提供了一种解决方案。同时，研究人员也在探索利用超椭圆曲线实现高效的超奇异同源密码学。

本文主要研究椭圆曲线和亏格为2的超椭圆曲线及其在密码学中的应用，包括经典密码学和后量子密码学。

2. 预备知识

2.1 有限域

有限域是抽象代数中的重要概念，在现代密码学中至关重要。一个域 (K) 是一个交换环，其中每个非零元素都有乘法逆元。例如，实数域 (\mathbb{R})、有理数域 (\mathbb{Q}) 和复数域 (\mathbb{C}) 都是域。

域 (K) 的特征 (char(K)) 定义为使得 (nx = 0) 对所有 (x \in K) 成立的最小正