34、模糊集合的类型2运算与性质解析

模糊集合的类型2运算与性质解析

1. 不同乘积空间上的类型2关系与合成

在模糊集合理论中，不同笛卡尔积空间且共享一个公共集合的类型2模糊关系的合成是一个重要的研究内容。考虑两个类型2模糊关系 $\tilde{R}(U, V)$ 和 $\tilde{S}(V, W)$，例如 “$u$ 小于 $v$” 以及 “$v$ 接近 $w$”。与类型2模糊关系 $\tilde{R}$ 相关联的是其T1 FS元素 $\mu_{\tilde{R}}(u, v)$，其中 $\mu_{\tilde{R}}(u, v) \in [0, 1]$；与 $\tilde{S}$ 相关联的是 $\mu_{\tilde{S}}(v, w)$，$\mu_{\tilde{S}}(v, w) \in [0, 1]$。

有如下定理：
若 $\tilde{R}$ 和 $\tilde{S}$ 分别是 $U \times V$ 和 $V \times W$ 上的两个类型2模糊关系，且 $\mu_{\tilde{R}}(u, v)$ 和 $\mu_{\tilde{S}}(v, w)$ 是正规T1 FSs，则对于任意对 $(u, w)$，$u \in U$ 且 $w \in W$，其隶属度非零当且仅当存在至少一个 $v \in V$ 使得 $\mu_{\tilde{R}}(u, v) \neq 1/0$ 且 $\mu_{\tilde{S}}(v, w) \neq 1/0$。这等价于以下扩展的上确界 - 星合成：
$\mu_{\tilde{R} \circ \tilde{S}}(u, w) = \bigvee_{v \in V} \mu_{\tilde{R}}(u, v) \wedge \mu_{\tilde{S}}(v, w)$ <