43、拍卖机制全解析：从多单元到组合拍卖

拍卖机制全解析：从多单元到组合拍卖

多单元拍卖基础

在拍卖领域，多单元拍卖是一种重要的形式。我们可以将各种估值推广到一般对称估值。一般对称估值中，设 (p_1, p_2, \cdots, p_m) 为任意非负价格，(p_j) 表示竞拍者对赢得的第 (j) 件物品愿意支付的价格，那么竞拍者 (i) 对物品集合 (S) 的估值 (v_i(S)) 为：
[v_i(S) = \sum_{j = 1}^{|S|} p_j]
还有一种特殊的对称估值是向下倾斜估值，即 (p_1 \geq p_2 \geq \cdots \geq p_m)。

无限供应下的随机抽样拍卖

像 MP3 下载这类商品，卖家生产额外单位商品的边际成本为零，可视为具有无限供应。但这并不意味着商品无价值或卖家应免费赠送，因为首件商品的生产成本可能很高，卖家需通过多件商品的销售来分摊成本。

在这种无限供应的情况下，卖家若想最大化收益，该如何选择多单元拍卖机制呢？目标是找到一种拍卖机制，它能在不预先设定特定销售数量、不依赖买家估值分布信息的前提下，实现良好的收益，同时满足占优策略真实性、个体理性和弱预算平衡。由于若不人为限制供应，竞拍者可能只需支付极小的费用就能赢得商品，所以人为限制供应是必要的（尽管这会导致分配效率低下）。为简化讨论，我们假设竞拍者最多只对一件商品感兴趣。

若我们知道竞拍者的估值，且要以相同价格向所有竞拍者提供商品，那么计算最优单一价格就很容易。最优单一价格的计算步骤如下：
1. 按估值从高到低对竞拍者进行排序，设 (v_i) 为第 (i) 高的估值。
2. 计算 (opt \in \arg \max_{i \in {1, \c