39、球面几何算法：弧长计算与地球距离近似

球面几何算法：弧长计算与地球距离近似

1. 引言

在许多实际问题中，计算两点之间的距离是常见需求。当两点位于直线上时，我们可以使用基于勾股定理的距离公式轻松计算。然而，当两点位于曲面上时，问题就变得复杂起来。不过，计算球面上两点之间的最短距离（即弧长）是一个相对简单的特殊情况。接下来，我们将深入探讨相关的坐标系统、坐标转换以及弧长计算方法，并通过实际例子展示如何应用这些知识来近似计算地球上两点之间的距离。

2. 坐标系统

• 直角坐标系 ：直角坐标系是我们最熟悉的坐标系统。在这个系统中，一个点的位置由三个值（x, y, z）确定，分别表示该点在x轴、y轴和z轴上的位置。例如，要定位点(3, 4, 5)，我们需要沿着x轴向右移动3个单位，平行于y轴向前移动4个单位，再平行于z轴向上移动5个单位。
• 球坐标系 ：在球坐标系中，一个点的位置由距离ρ（从原点到该点的距离，即半径）和两个角度θ（从正x轴朝向正y轴形成的角度）、φ（从正z轴朝向正x轴形成的角度）来确定。例如，要定位点(5, 30, 45)，我们先沿着z轴向上移动5个单位，然后从正z轴朝向正x轴旋转45度，最后从正x轴朝向正y轴旋转30度。

以下是两种坐标系的对比表格：
| 坐标系 | 坐标表示 | 定位方式 |
| ---- | ---- | ---- |
| 直角坐标系 | (x, y, z) | 沿x、y、z轴移动相应单位 |
| 球坐标系 | (ρ, θ, φ) | 先沿z轴移动ρ，再旋转φ和θ角度 |

3. 坐标